今度は電力の複素数表示を考えてみる

回路の電圧と電流が

E=|E|*exp(jωt)
I=|I|*exp(j(ωt+φ))

で表されるとき瞬時電力は

p=E*I
=|E|*exp(jωt)*|I|*exp(j(ωt+φ))
=|E|*|I|*exp(j(2ωt+φ))
=|E|*|I|*(cos(2ωt+φ)+j*sin(2ωt+φ))
=|E|*|I|*(cos(2ωt)cos(φ)-sin(2ωt)sin(φ)+j(sin(2ωt)cos(φ)+cos(2ωt)sin(φ))
=|E|*|I|*((1-2*sin(ωt)^2)cos(φ)-2*sin(ωt)cos(ωt)*sin(φ)+j(2sin(ωt)cos(ωt)cos(φ)+(1-2*sin(ωt)^2)sin(φ))

これを周期Tで平均すると定数項以外は平均が０となるので

P=(1/T)*∫pdt
=(1/T)*∫(|E|*|I|*((1-2*sin(ωt)^2)cos(φ)-2*sin(ωt)cos(ωt)*sin(φ)+j(2sin(ωt)cos(ωt)cos(φ)+(1-2*sin(ωt)^2)sin(φ)))dt
=|E|*|I|*(cos(φ)+j*sin(φ))
=|E|*|I|*exp(jφ)

で表されることになる。ここで

Pa=|E|*|I|*cos(φ)

が有効電力

Pr=|E|*|I|*sin(φ)

が無効電力

となる。

どの参考書でも複素関数の積分を伴う方法ではなく共役複素数を使った以下の簡単な方法で導いている。それは複素関数は積分する区間によっては結果が異なってしまうからである。複素解析という数学でそのあたりを扱うので足をつっこまない方法が教えられているのだろう。

P=E*I
=|E|*exp(-jω)*|I|*exp(j(ω+φ))
=|E|*|I|*exp(jφ)
=|E|*|I|*(cos(φ)+j*sin(φ))

もしくは

P=E*I
=|E|*exp(jω)*|I|*exp(-j(ω+φ))
=|E|*|I|*exp(-jφ)
=|E|*|I|*(cos(φ)-j*sin(φ))

従って電力そのものも共役複素数で表される。

sin(φ)の結果が正か負でどちらか一方になるのは確か。

インピーダンスを使って複素電力を定義すると

Z=R+jX

とした場合

P=E*I=Z*I*I
=(R-jX)*|I|^2

従って

Pa=R/|I|^2
Pr=-X/|I|^2

と表すことができる。

また

R=Pa/|I|^2
X=Pr/|I|^2

である。Rを実効抵抗、Xを実効リアクタンスと呼ぶ。
もしくはRを等価抵抗、Xを等価リアクタンスと呼ぶ。

同様に実効アドミッタンスを

Y=G+jB

とすると。複素電力の式は

P=E*I=E*(Y*E)=Y*|E|^2=(G+jB)*|E|^2

となり有効電力と無効電力は

Pa=G*|E|^2
Pr=B*|E|^2

と表すことができる。

従って実効コンダクタンスGと実効サセプタンスBは

G=Pa/|E|^2
B=Pr/|E|^2

と表されることになる。


ここまででベクトル記号法の理論は終わり。

あと卒倒しそうになるぐらい膨大な演習問題が待っている（１００問以上）

でもそれをこなせば上巻の半分近くまでは到達したことになる。

普通学校では上巻を１年かけてやるらしい。まだ半分もいっていない。前半は測定器とかで遊びほろけて演習を中断していたのが響いた格好だ。実質半年もかからないのかもしれない。

ただ通り一遍に講義を受けてもさっぱり頭には残らないのは間違いない。ところどころ勘違いや憶え違いとかもあるし。

ベクトル記号法（フェーザー表記、複素表記）に慣れると高周波とかアナログとかの電子回路で良く出てくる式が読めるようになる。今まではチンプンかんぷんだったのでこれはうれしい。

P.S
何年も前に書いたのを分け合って読み直したら最初の式に時間変数tが抜けていたのに今更気づいた。線形代数を知らない頃に考えたのだが我ながら着眼点は鋭かったと改めて関心。複素ベクトルのスカラー積の表現方法として複素関数積の積分とHermite形式のふたつがあること、またそれらが同値であることを今は理解している。