次ぎも網目方程式の応用問題。ちょっとひねったブリッジ回路の並行条件を閉路解析を利用して導けというもの。



著者が設定した閉回路とは違った設定で解いてみよう。

以下の関係式が成り立つ

(Q1+1/jωC)*I1-Q1*I2-I4/jωC=E

-Q1*I1+(Q1+P+jωL+R+S+Q2)*I2+(R+S)*I3-(S+Q2)*I4=0

(R+S)*I2+(R+S)*I3-S*I4=0

-I1/jωC-(S+Q2)*I2-S*I3+(Q2+S+1/jωC)*I4=0

これを行列表現に直すと

([Q1+1/jωC,-Q1, 0, -1/jωC],
[-Q1, Q1+P+jωL+R+S+Q2,R+S, -(S+Q2)],
[0, R+S, R+S, -S],
[-1/jωC, -(S+Q2), -S, Q2+S+1/jωC])
*([I1],[I2],[I3],[I4])=([E],[0],[0],[0])

これをI3についてクランメールの公式によって求めると

I3=(1/Δ)*
|[Q1+1/jωC,-Q1, E, -1/jωC],
[-Q1, Q1+P+jωL+R+S+Q2,0, -(S+Q2)],
[0, R+S, 0, -S],
[-1/jωC, -(S+Q2), 0, Q2+S+1/jωC]|

平衡時にI3=0となるためには、E=0, Δ≠0である場合右辺の行列式の余因子が

|[-Q1, Q1+P+jωL+R+S+Q2, -(S+Q2)],
[0, R+S, -S],
[-1/jωC, -(S+Q2), Q2+S+1/jωC]|=0

となることが条件となる。

行列式展開を簡易にするために、２列に３列を加えたものを新たに２列としても行列式の値は変わらないので

|[-Q1, Q1+P+jωL+R, -(S+Q2)],
[0, R, -S],
[-1/jωC, 1/jωC, Q2+S+1/jωC]|=0

更に２列をS倍、３列をR倍して３列に２列を加えて新たに３列にしても行列式の値は変わらないので

|[-Q1, S*(Q1+P+jωL+R), -R*(S+Q2)],
[0, S*R, -S*R],
[-1/jωC, S*(1/jωC), R*(Q2+S+1/jωC)]|=
|[-Q1 S*(Q1+P+jωL+R), S*(Q1+P+jωL+R)-R*(S+Q2)],
[0, S*R, 0],
[-1/jωC, S*(1/jωC), S*(1/jωC)+R*(Q2+S+1/jωC)]|=
|[-Q1, S*(Q1+P+jωL+R)-R*(S+Q2)],
[-1/jωC, S*(1/jωC)+R*(Q2+S+1/jωC)]|*S*R

従って

|[-Q1, S*(Q1+P+jωL+R)-R*(S+Q2)],
[-1/jωC, S*(1/jωC)+R*(Q2+S+1/jωC)]|=0

が条件となる。行列式を展開すると

-Q1*(S*(1/jωC)+R*(Q2+S+1/jωC))-(-1/jωC)*(S*(Q1+P+jωL+R)-R*(S+Q2))=
-Q1*R*(Q2+S)-Q1*(S+R)/jωC+(1/jωC)*(S*(Q1+P+R)-R*(S+Q2))+S*L/C=
-Q1*R*(Q2+S)+S*L/C+(S*(Q1+P+R)-R*(S+Q2)-Q1*(S+R))/jωC=
S*L/C-Q1*R*(Q2+S)+(S*P-R*(Q1+Q2))/jωC

従って平衡条件式は、

S*L/C-Q1*R*(Q2+S)+(S*P-R*(Q1+Q2)/jωC=0

実数部と虚数部がそれぞれ０となる必要から

S*P-R*(Q1+Q2)=0

∴R*(Q1+Q2)=SP

S*L/C-Q1*R*(Q2+S)=0

∴L=C*Q1*R*(Q2+S)/S

ということになる。