次ぎの問題はLC並列共振回路の解析。



網目方程式と節点方程式の両方でI1,I2,I3の電流値を導けというもの。

網目方程式は閉回路の設定は複数あるので、著者の解答とは異なる設定を用いることとする。

節点方程式はコモン端子が決まると一意に決まってしまうので、こちらは著者と同じ解き方になってしまうのは致し方が無い。

図の閉回路に関して以下が成り立つ

(15-j10)*Ia+15*Ib=100

15*Ia+(15+j20)*Ib=100

これらを行列表現に直すと

([15-j10,15],[15,15+j20])*([Ia],[Ib])=([100],[100])

Ia,Ibについてクランメールの公式を用いて解くと

Ia=(1/Δ)*|[100,15],[100,15+j20]|

Ib=(1/Δ)*|[15-j10,100],[15,100]|

２行目から１行目を差し引いて新しい２行目としても値は同じなので

Ia=(1/Δ)*|[100,15],[100,15+j20]|
=(1/Δ)*|[100,15],[0,j20]|
=(1/Δ)*100*j20
=(1/Δ)*j2000

Ib=(1/Δ)*|[15-j10,100],[15,100]|
=(1/Δ)*|[15-j10,100],[j10,0]|
=(1/Δ)*(-100*j10)
=-(1/Δ)*j1000


ここで

Δ=|[15-j10,15],[15,15+j20]|
=(15-j10)*(15+j20)-15*15
=15*15+10*20-15*15-j10*15+j20*15
=10*20+j10*15
=200+j150
=50*(4+j3)


∴Ia=(1/Δ)*j2000
=(1/50*(4+j3))*j2000
=j40*(4-j3)/(4^2+3^2)
=j40*(4-j3)/(16+9)
=j40*(4-j3)/25
=j8*(4-j3)/5
=24/5+j32/5
=4.8+j6.4

∴Ib=-(1/Δ)*j1000
=-(1/50*(4+j3))*j1000
=-j20*(4-j3)/(4^2+3^2)
=-j20*(4-j3)/25
=-j4*(4-j3)/5
=-12/5-j16/5
=-2.4-j3.2

図より

I1=Ia+Ib
=4.8+j6.4-2.4-j3.2
=2.4+j3.2 [A]

I2=Ia
=4.8+j6.4 [A]

I3=-Ib
=2.4+j3.2 [A]

ということになる。これは著者の解とも一致する。

一方節点方程式の場合は、Bをコモンとした節点Aの電圧をEaとした場合、節点Aに関するキルヒホッフの電流則より

(1/15)*(100-Ea)+(1/-j10)*(0-Ea)+(1/j20)*(0-Ea)=0

が成り立つことになる。

整理すると

(1/15)*100+(-1/15-1/j20+1/j10)*Ea
=20/3+(-1/15+j/20-j/10)*Ea
=20/3+(-1/15-j/20)*Ea
=20/3-(1/3*5+j/4*5)*Ea
=20/3-(1/5)*(1/3+j/4)*Ea

従って

Ea=(20/3)/((1/5)*(1/3+j/4))
=(100/3)*(1/3-j/4)/(1/3^2+1/4^2)
=(100/3)*(1/3-j/4)/(1/9+1/16)
=(100/3)*(1/3-j/4)*9*16/(9+16)
=100*(1/3-j/4)*3*16/25
=4*(1/3-j/4)*3*16
=4*3*16/3-j4*3*16/4
=4*16-j3*16
=64-j48

図より

I1=(1/15)*(100-Ea)
=(1/15)*(100-(64-j48))
=(1/15)*(36+j48)
=36/15+j48/15
=12/5+j16/5
=2.4+j3.2 [A]

I2=(1/-j10)*Ea
=(j/10)*(64-j48)
=48/10+j64/10
=4.8+j6.4 [A]

I3=-(1/j20)*Ea
=(j/20)*(64-j48)
=48/20+j64/20
=24/10+j32/10
=2.4+j3.2 [A]

ということになる。これも著者の解と一致している。