次ぎの問題は簡単な数学的な証明問題。

以下の連立方程式

y1=a11*x1+a12*x2+...+a1n*xn
y2=a21*x1+a22*x2+...+a2n*xn
...
yn=an1*x1+an2*x2+...+ann*xn

を行列表現に直すと

[y]=[a]*[x]

ここに

[y]=([y1],[y2],...,[yn])

[a]=([a11,a12,...,a1n],[a21,a22,...,a2n],...,[an1,an2,...,ann])

[x]=([x1],[x2],...,[xn])

[x]が[x1],[x2],[y]が[y1],[y2]としたとき、k1,k2を任意の係数とするとk1*[x1]+k2*[x2]に対する[y]がk1*[y1]+k2*[y2]となることを証明せよ。

というもの。

題意としては２つの行列[x1],[x2]に対応する[y]が[y1],[y2]として、今度はそれぞれの行列[x1],[x2]にそれぞれ係数k1,k2を乗じて加えた行列k1*[x1]+k2*[x2]に対応する[y]も同じ係数を行列に乗じて加えたk1*[y1]+k2*[y2]となることを証明せよという意味だと思われる。

これを式で表すと

[a]*[x]=[a]*(k1*[x1]+k2*[x2])

行列の結合・分配則により

[a]*(k1*[x1]+k2*[x2])
=k1*[a]*[x1]+k2*[a]*[x2]

ここで題意により

[y1]=[a]*[x1]

[y2]=[a]*[x2]

であるため代入すると

k1*[a]*[x1]+k2*[a]*[x2]
=k1*[y1]+k2*[y2]

ということになる。

簡単じゃないか。

こうした線形結合が成り立つ場合に回路は線形であると言えるのは既に学んだ通り。