次ぎの問題は重ね合わせの理で実際の回路に流れる電流を求めることが出来るか確かめよというもの。



重ね合わせの理でいくと、電源をE1のみにしてE2を短絡した時に回路に流れる電流と、E1を短絡しE2を活かした時に回路に流れる電流を足し合わせれば良いことになる。

前者の電流をI11,I21,I31、後者をI12,I22,I32とすると

I11=E1/(Z1+1/(1/Z2+1/Z3)
=E1/(Z1+Z2*Z3/(Z2+Z3))
=E1*(Z2+Z3)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

I21=I11*Z3/(Z2+Z3)
=E1*Z3/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

I31=I11*Z2*/(Z2+Z3)
=E1*Z2/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

I32=E2*(Z3+1/(1/Z1+1/Z2))
=E2*(Z3+Z1*Z2/(Z1+Z2))
=E2*(Z1+Z2)/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)

I22=I32*Z1/(Z1+Z2)
=E2*Z1/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)

I12=I32*Z2/(Z1+Z2)
=E2*Z2/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)

従って

I1=I11-I12
=E1*(Z2+Z3)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-E2*Z2/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)
=(E1*(Z2+Z3)-E2*Z2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

I2=-I21-I22
=-E1*Z3/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-E2*Z1/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)
=-(E1*Z3+E2*Z1)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

I3=I32-I31
=E2*(Z1+Z2)/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)-E1*Z2/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=(E2*(Z1+Z2)-E1*Z2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

これを節点方程式で求めてみると

コモンを節点Aとして節点Bの電圧をEBとすると節点Bに関するキルヒホッフの電流則により

I1+I2+I3=0

ここで

I1=(1/Z1)*(E1-EB)

I2=(1/Z2)*(0-EB)

I3=(1/Z3)*(E2-EB)

従って

(1/Z1)*(E1-EB)+(1/Z2)*(0-EB)+(1/Z3)*(E2-EB)=0

整理すると

(1/Z1)*E1-(1/Z1)*EB-(1/Z2)*EB+(1/Z3)*E2-(1/Z3)*EB=0

(1/Z1)*E1+(1/Z3)*E2=((1/Z1+1/Z2+1/Z3)*EB

∴EB=((1/Z1)*E1+(1/Z3)*E2)/(1/Z1+1/Z2+1/Z3)
=((Z3*E1+Z1*E2)/Z1*Z3)/((Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)/Z1*Z2*Z3)
=Z2*(Z3*E1+Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

従って

I1=(1/Z1)*(E1-EB)
=(1/Z1)*(E1-Z2*(Z3*E1+Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3))
=(1/Z1)*((Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)*E1-Z2*(Z3*E1+Z1*E2))/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)
=(1/Z1)*((Z1*Z2+Z1*Z3)*E1-Z2*Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)
=((Z2+Z3)*E1-Z2*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

I2=(1/Z2)*(0-EB)
=(1/Z2)(-Z2*(Z3*E1+Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3))
=-(Z3*E1+Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

I3=(1/Z3)*(E2-EB)
=(1/Z3)*(E2-Z2*(Z3*E1+Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3))
=(1/Z3)*((Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)*E2-Z2*(Z3*E1+Z1*E2))/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)
=(1/Z3)*((Z1*Z3+Z2*Z3)*E2-Z2*Z3*E1)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)
=((Z1+Z2)*E2-Z2*E1)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

ということで節点方程式から導いた結果と一致することが確認された。