次ぎの問題も相反定理。



実際の回路で相反定理が成り立つことを確認せよというもの。数学的に証明されたのだから何を今更という気がしないでもないが。

やってみるとはまった。

回路上で以下の網目方程式が成り立つ

(R1+R4)*I1+0*I2-R4*I3=E1

0*I1+(R3+R5)*I2-R5*I3=-E2

-R4*I1-R5*I2+(R2+R4+R5)*I3=0

これを行列表現に直すと

[Z]=([R1+R4,0,-R4],[0,R3+R5,-R5],[-R4,-R5,R2+R4+R5])

[I]=([I1],[I2],[I3])

[E]=([E1],[-E2],[0])

[Z][I]=[E]

ということになる。インピーダンス行列[Z]は対称行列になっているので相反定理が成り立つはずである。

これを電圧源のあるI1,I2について解いてみると

I1=(1/Δ)*|[E1,0,-R4],[-E2,R3+R5,-R5],[0,-R5,R2+R4+R5])
=(1/Δ)*(E1*|[R3+R5,-R5],[-R5,R2+R4+R5]|+E2*|[0,-R4],[-R5,R2+R4+R5]|)
=(1/Δ)*(E1*((R3+R5)*(R2+R4+R5)-R5^2)+E2*(-R4*R5))
=(1/Δ)*(E1*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E2*R4*R5)

I2=(1/Δ)*|[R1+R4,E1,-R4],[0,-E2,-R5],[-R4,0,R2+R4+R5]|
=(1/Δ)*(-E1*|[0,-R5],[-R4,R2+R4+R5]|-E2*|[R1+R4,-R4],[-R4,R2+R4+R5]|)
=(1/Δ)*(E1*R4*R5-E2*((R1+R4)*(R2+R4+R5)-R4^2))
=(1/Δ)*(E1*R4*R5-E2*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))

E1,E2がE1',E2'になった時の電流I1',I2'はそれぞれ

I1'=(1/Δ)*(E1'*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E2'*R4*R5)
I2'=(1/Δ)*(E1'*R4*R5-E2'*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))

従って

E1*I1'-E2*I2'=
E1*(1/Δ)*(E1'*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E2'*R4*R5)-E2*(1/Δ)*(E1'*R4*R5-E2'*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))=
(1/Δ)*(E1*E1'*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E1*E2'*R4*R5)-
(1/Δ)*(E2*E1'*R4*R5-E2*E2'*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))=
(1/Δ)*(E1*E1'*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E2*E1'*R4*R5)-
(1/Δ)*(E1*E2'*R4*R5-E2*E2'*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))=
E1'*(1/Δ)*(E1*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E2*R4*R5)-
E2'*(1/Δ)*(E1*R4*R5-E2*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))=
E1'*I1-E2'*I2

ということで相反定理が成り立つことが確認される。

罠にはまったのは電源E2の符号。

著者は知ってか知らずか（知っていたとすれば確信犯）、

・インピーダンス行列がわざと非対称行列になるように行を入れ替えて表記（相反定理が成立しない）
・更に最後にアドミッタンス行列もE2の極性が正になるように負号をアドミッタンス行列の要素側に掛けて移してしまったので、アドミッタンス行列も非対称行列にしてしまっている
・結果的に最後に強引に最後の式を導出しているが、どう考えても間違えている

これで何日も悩んだ。