次ぎも補償定理の応用問題。



平衡状態にあるブリッジ回路のR1に直列にR0を接続した場合に検流計に流れる電流とその方向を求めよというもの。また並列に接続した場合どうなるか。

R1に直列にR0を接続した場合の回路の電流の変化は補償定理により、すべての電源を殺してR1+R0に直列に逆方向のI1*R0なる電源を接続した場合に回路に流れる電流と等しいので、それ以前に平衡状態で電流が0だったIgにはその変化分が流れることになる。



電源Eを殺してI1*R0をR1に直列にI1とは逆方向につないだ場合、R3はI1*R0,R1,R0と並列に、更に検流計を介してR2とR4が並列に接続される回路となる。これはI1*R0,R1,R0とR3とで構成される等価電源回路にR2とR4が並列に負荷として接続されていると置き換えることができる。

等価電源の内部抵抗Z0は等価電圧源Etを殺した場合に端子側から見た内部抵抗なので

Z0=1/(1/R3+1/(R1+R0))
=R3*(R1+R0)/(R1+R0+R3)

等価電圧源の電圧Etは元の回路で端子を開放にした時の出力電圧なので分圧則により

Et=I1*R0*R3/(R1+R0+R3)

従って等価電源回路に負荷抵抗R2とR4を並列接続した場合に負荷に流れる全電流が検流計にな流れる電流ということになるので

Ig=Et/(Z0+1/(1/R2+1/R4))
=Et/(Z0+R2*R4/(R2+R4))
=Et*(R2+R4)/(Z0*(R2+R4)+R2*R4)
=(I1*R0*R3/(R1+R0+R3))*(R2+R4)/((R3*(R1+R0)/(R1+R0+R3))*(R2+R4)+R2*R4)
=I1*R0*R3*(R2+R4)/((R1+R0+R3)*((R3*(R1+R0)/(R1+R0+R3))*(R2+R4)+R2*R4))
=I1*R0*R3*(R2+R4)/((R3*(R1+R0)*(R2+R4)+R2*R4*(R1+R0+R3))

ここで

I1=E/(R1+R3)

なので代入すると

Ig=E*R0*R3*(R2+R4)/((R3*(R1+R0)*(R2+R4)+R2*R4*(R1+R0+R3))*(R1+R3))

ということになる。

今度はR1にR0を並列接続した場合にR1からの抵抗値の変化ΔRは

ΔR=R1*R0/(R1+R0)-R1
=(R1*R0-R1*(R1+R0))/(R1+R0)
=-R1^2/(R1+R0)

となり抵抗値変化はマイナスとなる。従って補償定理によれば回路電流の変化は電源Eを殺してR1に直列にΔRと電源I1*ΔRを接続した際に回路に流れる電流と等しいことになる。



これも先ほどと同様にテブナンの定理を応用して等価電源回路に置き換えて考えると式が導きやすい。

等価電源回路の内部抵抗は

Z0=1/(1/R3+1/(R1+ΔR))
=R3*(R1+ΔR)/(R1+ΔR+R3)
=R3*(R1-R1^2/(R1+R0))/(R1-R1^2/(R1+R0)+R3)
=R3*R1*(1-R1/(R1+R0))/(R1*(1-R1/(R1+R0))+R3)
=R3*R1*R0/((R1+R0)*(R1*R0/(R1+R0)+R3))
=R3*R1*R0/(R1*R0+R3*(R1+R0))

また等価電圧源の電圧は出力を開放した時の端子電圧なので

Et=I1*ΔR*R3/(R1+ΔR+R3)
=I1*(-R1^2/(R1+R0))*R3/(R1-R1^2/(R1+R0)+R3)
=-I1*R1^2*R3/((R1+R0)*(R1-R1^2/(R1+R0)+R3))
=-I1*R1^2*R3/((R1+R0)*(R1*R0/(R1+R0)+R3))
=-I1*R1^2*R3/(R1*R0+R3*(R1+R0))

従って検流計に流れる電流は先ほどとは逆方向で

Ig=Et/(Z0+1/(1/R2+1/R4))
=Et/(Z0+R2*R4/(R2+R4))
=Et*(R2+R4)/(Z0*(R2+R4)+R2*R4)
=(-I1*R1^2*R3/(R1*R0+R3*(R1+R0)))*(R2+R4)/((R3*R1*R0/(R1*R0+R3*(R1+R0)))*(R2+R4)+R2*R4)
=-I1*R1^2*R3*(R2+R4)/((R1*R0+R3*(R1+R0))*((R3*R1*R0/(R1*R0+R3*(R1+R0)))*(R2+R4)+R2*R4)
=-I1*R1^2*R3*(R2+R4)/((R3*R1*R0*(R2+R4)+R2*R4*(R1*R0+R3*(R1+R0)))

ここで

I1=E/(R1+R3)

を代入すると

Ig=-E*R1^2*R3*(R2+R4)/((R1+R3)*((R3*R1*R0*(R2+R4)+R2*R4*(R1*R0+R3*(R1+R0))))

ということになる。