次ぎは憶えてしまえば実に多くのシーンで使えるテブナンの定理の応用問題。



図のような等価電源回路で開放電圧がE=100V、開放インピーダンスがZ0=8+j14[Ω]の時に負荷Zを接続したら電流I=3+j4[A]が流れたという。この時の負荷インピーダンスZを求めよというもの。

E,Z0,Z,Iの関係を式で表すと

I=E/(Z0+Z)

従って負荷インピーダンスZに関して整理すると

Z=(E-Z0*I)/I

ここで

Z0=R+j*X

I=Ir+j*Im

と置くと

Z=(E-(R+j*X)*(Ir+j*Im))/(Ir+j*Im)
=(E-(R*Ir-X*Im+j*(X*Ir+Im*R))*(Ir-j*Im)/((Ir+j*Im)*(Ir-j*Im))
=(E-R*Ir+X*Im-j*(X*Ir+Im*R))*(Ir-j*Im)/(Ir^2+Im^2)
=((E-R*Ir+X*Im)*Ir-(X*Ir+Im*R)*Im-j*((X*Ir+Im*R)*Ir+(E-R*Ir+X*Im)*Im)/(Ir^2+Im^2)
=(E*Ir-R*Ir^2+X*Im*Ir-X*Im*Ir-R*Im^2-j*(X*Ir^2+R*Im*Ir+E*Im-R*Im*Ir-X*Im^2))/(Ir^2+Im^2)
=(E*Ir-R*(Ir^2+Im^2)-j*(X*(Ir^2+Im^2)+E*Im)/(Ir^2+Im^2)
=(E*Ir-R*(Ir^2+Im^2))/(Ir^2+Im^2)-j*(X*(Ir^2+Im^2)+E*Im)/(Ir^2+Im^2)

と表される。

E=100,R=8,X=14,Ir=3,Im=4をそれぞれ代入すると

Z=(100*3-8*(3^2+4^2))/(3^2+4^2)-j*(14*(3^2+4^2)+100*4)/(3^2+4^2)
=(300-8*25)/25-j*(14*25+400)/25
=4-j30 [Ω]

ということになる。

著者の解はI=E/I-Z0を展開することで式が単純になっている分計算が簡単である。数値計算する場合には記号式を出来るだけ単純にして項を少なくしてから値を代入した方が良い。