いよいよ残り３問。



２つの回路が端子ABCDに関して等価であるための条件を導けという難問。

任意の線形回路網の一部にこうした回路がある場合に、他方をもう一方で置き換えても端子ABCDに関してそれ以外の部分から見ると変わらないということで、これは互いに双対である条件を示せば良いことになる。

ストラテジーとしては左側の回路では閉回路が設定できないので、どちらに関しても節点解析によって外部回路から端子ABCDに流入する電流と端子ABCDの電圧の関係を示す方程式をたてて、アドミッタンス行列が等しく成らなければならない条件から関係を導き出すことにする。

端子ABCDに外部から流入する電流をそれぞれIa,Ib,Ic,Idとし、端子ABCDと回路網のコモン端子（GND)との間の電圧をそれぞれEa,Eb,Ec,Ed、中点の電圧をEとすると左の回路について以下の関係が成り立つ。

(Ea-E)/Ra=Ia

(Eb-E)/Rb=Ib

(Ec-E)/Rc=Ic

(Ed-E)/Rd=Id

ここで中点電圧EはMillmanの定理により

E=ΣYi*Ei/ΣYi
=(Ea/Ra+Eb/Rb+Ec/Rc+Ed/Rd)/(1/Ra+1/Rb+1/Rc+1/Rd)
=(Ea/Ra+Eb/Rb+Ec/Rc+Ed/Rd)*(Ra*Rb*Rc*Rd)/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)
=(Ea*Rb*Rc*Rd+Eb*Ra*Rc*Rd+Ec*Ra*Rb*Rd+Ed*Ra*Rb*Rc)/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)

これを前の式にそれぞれ代入すると

(Ea-E)/Ra
=(Ea-(Ea*Rb*Rc*Rd+Eb*Ra*Rc*Rd+Ec*Ra*Rb*Rd+Ed*Ra*Rb*Rc)/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))/Ra
=(Ea*(1-Rb*Rc*Rd)/Ra-Eb*Rc*Rd-Ec*Rb*Rd-Ed*Rb*Rc)/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)
=Ia

(Eb-E)/Rb
=(Eb-(Ea*Rb*Rc*Rd+Eb*Ra*Rc*Rd+Ec*Ra*Rb*Rd+Ed*Ra*Rb*Rc)/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))/Rb
=(Eb*(1-Ra*Rc*Rd)/Rb-Ea*Rc*Rd-Ec*Ra*Rd-Ed*Ra*Rc)/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)
=Ib

(Ec-E)/Rc
=(Ec-(Ea*Rb*Rc*Rd+Eb*Ra*Rc*Rd+Ec*Ra*Rb*Rd+Ed*Ra*Rb*Rc)/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))/Rc
=(Ec*(1-Ra*Rb*Rd)/Rc-Ea*Rb*Rd-Eb*Ra*Rd-Ed*Ra*Rb)/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)
=Ic

(Ed-E)/Rd
=(Ed-(Ea*Rb*Rc*Rd+Eb*Ra*Rc*Rd+Ec*Ra*Rb*Rd+Ed*Ra*Rb*Rc)/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))/Rd
=(Ed*(1-Ra*Rb*Rc)/Rd-Ea*Rb*Rc-Eb*Ra*Rc-Ec*Ra*Rb)/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)
=Id

行列表現にすると

[I]=([Ia],[Ib],[Ic],[Id])
[E]=([Ea],[Eb],[Ec],[Ed])
[Y]=(1/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))*(
[(1-Rb*Rc*Rd)/Ra,-Rc*Rd,-Rb*Rd,-Rb*Rc],
[-Rc*Rd,(1-Ra*Rc*Rd)/Rb,-Ra*Rd,-Ra*Rc],
[-Rb*Rd,-Ra*Rd,(1-Ra*Rb*Rd)/Rc,-Ra*Rb],
[-Rb*Rc,-Ra*Rc,-Ra*Rb,Ed*(1-Ra*Rb*Rc)/Rd])

[I]=[Y]*[E]

という関係が成り立つことになる。

同様に右の回路に関して

(Ea-Eb)/R1+(Ea-Ec)/R5+(Ea-Ed)/R4=Ia

(Eb-Ea)/R1+(Eb-Ec)/R2+(Eb-Ed)/R6=Ib

(Ec-Ea)/R5+(Ec-Eb)/R2+(Ec-Ed)/R3=Ic

(Ed-Ea)/R4+(Ed-Eb)/R6+(Ed-Ec)/R3=Id

整理すると

Ea/R1-Eb/R1+Ea/R5-Ec/R5+Ea/R4-Ed/R4
=Ea*(1/R1+1/R5+1/R4)-Eb/R1-Ec/R5-Ed/R4
=Ia

Eb/R1-Ea/R1+Eb/R2-Ec/R2+Eb/R6-Ed/R6
=-Ea/R1+Eb*(1/R1+1/R2+1/R6)-Ec/R2-Ed/R6
=Ib

Ec/R5-Ea/R5+Ec/R2-Eb/R2+Ec/R3-Ed/R3
=-Ea/R5-Eb/R2+Ec*(1/R5+1/R2+1/R3)-Ed/R3
=Ic

Ed/R4-Ea/R4+Ed/R6-Eb/R6+Ed/R3-Ec/R3
=-Ea/R4-Eb/R6-Ec/R3+Ed*(1/R4+1/R6+1/R3)
=Id

行列表現に直すと

[Y']=(
[(1/R1+1/R5+1/R4),-1/R1,-1/R5,-1/R4],
[-1/R1,(1/R1+1/R2+1/R6),-1/R2,-1/R6],
[-1R5,-1/R2,(1/R5+1/R2+1/R3),-1/R3],
[-1/R4,-1/R6,-1/R3,(1/R4+1/R6+1/R3)])

[I]=[Y']*[E]

ということになる。二つの回路が等価であるためには、

[Y]=[Y']

である必要がある。

すなわち

(1/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))*(
[(1-Rb*Rc*Rd)/Ra,-Rc*Rd,-Rb*Rd,-Rb*Rc],
[-Rc*Rd,(1-Ra*Rc*Rd)/Rb,-Ra*Rd,-Ra*Rc],
[-Rb*Rd,-Ra*Rd,(1-Ra*Rb*Rd)/Rc,-Ra*Rb],
[-Rb*Rc,-Ra*Rc,-Ra*Rb,Ed*(1-Ra*Rb*Rc)/Rd])=
=(
[(1/R1+1/R5+1/R4),-1/R1,-1/R5,-1/R4],
[-1/R1,(1/R1+1/R2+1/R6),-1/R2,-1/R6],
[-1R5,-1/R2,(1/R5+1/R2+1/R3),-1/R3],
[-1/R4,-1/R6,-1/R3,(1/R4+1/R6+1/R3)])

という関係が成り立つには、行列の対応する要素が等しくなければならず

(1/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))*(-Rc*Rd)=-1/R1

(1/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))*(-Ra*Rd)=-1/R2

(1/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))*(-Ra*Rb)=-1/R3

(1/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))*(-Rb*Rc)=-1/R4

(1/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))*(-Rb*Rd)=-1/R5

(1/(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc))*(-Ra*Rc)=-1/R6

これらの関係より

∴R1=(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)/Rc*Rd

∴R2=(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)/Ra*Rd

∴R3=(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)/Ra*Rb

∴R4=(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)/Rb*Rc

∴R5=(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)/Rb*Rd

∴R6=(Rb*Rc*Rd+Ra*Rc*Rd+Ra*Rb*Rd+Ra*Rb*Rc)/Ra*Rc

ということになる。