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投稿者	スレッド
webadm	投稿日時: 2009-12-24 19:18
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	RC一端子対回路 RL一端子対回路の議論の中で、双対的な関係としてRC一端子回路が存在することが判ってしまったが、これまで所々で見え隠れしたLC一端子対回路とRL一端子対回路それにRC一端子対回路を対比しながらまとめて見ることにする。駆動点インピーダンスの一般式を導く際にn端子対回路のインピーダンスマトリックスの要素はRC一端子対回路では以下の様になる。 $\begin{eqnarray}Z_{ij}&=&R_{ij}+\frac{1}{C_{ij}s} \\ &=&\frac{R_{ij}}{s}(s+\frac{1}{C_{ij}R_{ij}})\end{eqnarray}$ これまでのLC,RLの場合と比較するために一覧表にすると $\begin{array}{\|c\|c\|}\hline Network & Z_{ij}\\ \hline LC & \frac{L_{ij}}{s}(s^2+\frac{1}{C_{ij}L_{ij}})\\ \hline RL & L_{ij}(s+\frac{R_{ij}}{L_{ij}})\\ \hline RC & \frac{R_{ij}}{s}(s+\frac{1}{C_{ij}R_{ij}}) \\ \hline\end{array}$ ということになる。ここで $\alpha_{ij}=\frac{1}{C_{ij}R_{ij}}$ と置くと $Z_{ij}=\frac{R_{ij}}{s}\left(s+{\alpha_{ij}}\right)$ ということになる。従って $\begin{eqnarray}\Delta&=&Z_{11}Z_{22}...Z_{nn}+...\\&=&\frac{R_{11}}{s}\left(s+{\alpha_{11}}\right)\frac{R_{22}}{s}\left(s+{\alpha_{22}}\right)...\frac{R_{nn}}{s}\left(s+{\alpha_{nn}}\right)+...\\&=&\frac{a_n}{s^n}\left(s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_0\right)\end{eqnarray}$ ここで $\Delta=0$ を満たすn個の根をそれぞれ $-{\alpha_1},-{\alpha_3},...,-{\alpha_{2n-1}}$ とすると $\Delta=\frac{a_n}{s^n}\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)$ 同様に $\begin{eqnarray}\Delta_{11}&=&Z_{22} Z_{33} ... Z_{nn}+...\\&=&\frac{R_{22}}{s}\left(s+{\alpha_{22}}\right) \frac{R_{33}}{s}\left(s+{\alpha_{33}}\right) ... \frac{R_{nn}}{s}\left(s+{\alpha_{nn}}\right)+...\\&=&\frac{b_m}{s^{n-1}}\left(s^{n-1}+b_{m-1}s^{n-2}+...+b_{1}s+b_0\right)\\&=&\frac{b_m}{s^{n-1}}\left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)\end{eqnarray}$ 従ってRC一端子対回路の駆動点インピーダンスは $\begin{eqnarray}Z_{RC}(s)&=&\frac{\frac{a_n}{s^n}\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)}{\frac{b_m}{s^{n-1}}\left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)}\\&=&H \frac{\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)}{s \left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)}\\ H > 0 && 0 \leq \alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3 <... <\alpha_{2n-2} < \alpha_{2n-1} < \infty \end{eqnarray}$ 分子と分母の次数が同じである。s=0に必ず極を持ち、\|s\|=∞は零点でも極にもならない。他の極と零点は負の実軸上にのみ現れることがわかる。 LC一端子対回路の駆動点インピーダンスの式と見比べると $Z_{LC}(s)=H\frac{\left(s^2+{\omega_{1}}^2\right)\left(s^2+{\omega_{3}}^2\right)...\left(s^2+{\omega_{2n-1}}^2\right)}{s\left(s^2+{\omega_{2}}^2\right)\left(s^2+{\omega_{4}}^2\right)...\left(s^2+{\omega_{2n-2}}^2\right)}$ RC一端子対回路のsをs^2に置き換えてsを乗じるとLC一端子回路の式と同じになる。 $\begin{eqnarray}s Z_{RC}(s^2)&=&Z_{LC}(s)\\ \frac{Y_{RC}(s^2)}{s}&=& Y_{LC}(s)\end{eqnarray}$ または $\begin{eqnarray}\frac{Z_{LC}(s)}{s}&=&Z_{RC}(s^2)\\ s Y_{LC}(s)&=&Y_{RC}(s^2)\end{eqnarray}$ ということになる。 RC一端子対回路はRL一端子回路と同様に駆動点インピーダンス関数がs^2に関して偶関数ということになる。一覧表にして表すと $\begin{array}{\|c\|c\|}\hline Network & Z\\ \hline LC & H\frac{\left(s^2+{\omega_{1}}^2\right)\left(s^2+{\omega_{3}}^2\right)...\left(s^2+{\omega_{2n-1}}^2\right)}{s\left(s^2+{\omega_{2}}^2\right)\left(s^2+{\omega_{4}}^2\right)...\left(s^2+{\omega_{2n-2}}^2\right)}\\ \hline RL & H \frac{\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)}{\left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)}\\ \hline RC & H \frac{\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)}{s \left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)}\\ \hline\end{array}$ ということになる。 RC一端子対回路の駆動点インピーダンス関数の部分分数展開は分子と分母の次数が同一なので定数項が商として切り出される、残りの剰余は分子の次数が分母の次数より少ないので展開定理を使用して $Z_{RC}(s)=\frac{h_0}{s}+\sum_{k=1}^n\frac{h_{2k}}{s+{\alpha_{2k}}}+h_\infty$ ということになる。 Foster展開すると $\begin{eqnarray}Z_{RC}(s)&=&\frac{h_0}{s}+\sum_{k=1}^n\frac{h_{2k}}{s+{\alpha_{2k}}}+h_\infty\\&=&\frac{1}{C_{0}s}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{C_{2k}s+G_{2k}}+R_{\infty}\\C_{0}&=&\frac{1}{h_0}\\C_{2k}&=&\frac{1}{h_{2k}}\\G_{2k}&=&\frac{\alpha_{2k}}{h_{2k}}\\R_{\infty}&=&h_{\infty}\\h_0&=&\left[s(Z_{RC}(s)-\sum_{k=1}^n\frac{h_{2k}}{s+{\alpha_{2k}}}-h_\infty)\right]_{s=0}\\&=&\left[H \frac{\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)}{\left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)}\right]_{s=0}\\&=&H\frac{\alpha_{1}\alpha_{3}...\alpha_{2n-1}}{\alpha_{2}\alpha_{4}...\alpha_{2n-2}}\\h_{2k}&=&\left[(s+\alpha_{2k})(Z_{RC}(s)-\frac{h_0}{s}-h_{\infty})\right]_{s=-\alpha_{2k}}\\&=&-H\frac{(\alpha_1-\alpha_{2k})(\alpha_3-\alpha_{2k})...(\alpha_{2n-1}-\alpha_{2k})}{\alpha_{2k}(\alpha_{2}-\alpha_{2k})(\alpha_{4}-\alpha_{2k})...(\alpha_{2k-2}-\alpha_{2k})(\alpha_{2k+2}-\alpha_{2k})...}\\h_{\infty}&=&\left[Z_{RC}(s)-\frac{h0}{s}-\sum_{k=1}^n\frac{h_{2k}}{s+{\alpha_{2k}}}\right]_{s=\infty}\\&=&\left[H \frac{\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)}{s\left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)}\right]_{s=\infty}\\&=&\left[H \frac{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_0}{s(s^{n-1}+b_{m-1}s^{n-2}+...+b_{1}s+b_0)}\right]_{s=\infty}\\&=&\left[H \frac{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_0}{s^{n}+b_{m-1}s^{n-1}+...+b_{1}s^2+b_0 s}\right]_{s=\infty}\\&=&\left[H \frac{1+a_{n-1}s^{-1}+...+a_{1}s^{1-n}+a_0{s^{-n}}}{1+b_{m-1}s^{-1}+...+b_{1}s^{2-n}+b_0{s^{1-n}}}\right]_{s=\infty}=H\end{eqnarray}$ ということになる。これはRL一端子対回路の駆動点アドミッタンス関数をそのまま駆動点インピーダンス関数とみなすと出てきたのと同じ回路である。今度は最初の駆動点インピーダンス関数の逆数としての駆動点アドミッタンス関数を部分分数展開してみよう $\begin{eqnarray}Y_{RC}(s)&=&\frac{1}{Z_{RC}(s)}\\&=&\frac{s}{H} \frac{\left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)}{\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)}\\&=&s(\frac{1}{H} \frac{\left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)}{\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)})\\&=&s(\sum_{k=1}^n\frac{h_{2k-1}}{s+{\alpha_{2k-1}}})\\&=&\sum_{k=1}^n\frac{h_{2k-1}s}{s+{\alpha_{2k-1}}}\\ &=&\sum_{k=1}^n\frac{1}{\frac{1}{C_{2k-1}s}+R_{2k-1}}\\C_{2k-1}&=&\frac{h_{2k-1}}{\alpha_{2k-1}}\\R_{2k-1}&=&\frac{1}{h_{2k-1}}\\h_{2k-1}&=&\left[\frac{(s+\alpha_{2k-1})}{s}(Y_{RC}(s)-{h_0}-h_\infty{s})\right]_{s=-\alpha_{2k-1}}\\&=&\frac{1}{H}\frac{(\alpha_2-\alpha_{2k-1})(\alpha_4-\alpha_{2k-1})...(\alpha_{2n-2}-\alpha_{2k-1})}{(\alpha_{1}-\alpha_{2k-1})(\alpha_{3}-\alpha_{2k-1})...(\alpha_{2k-3}-\alpha_{2k-1})(\alpha_{2k+1}-\alpha_{2k-1})...}\end{eqnarray}$ 次ぎに駆動点インピーダンス関数のCauer展開がどうなるか見てみよう。第一形では次数の大きい項から切り出していく。 $\begin{eqnarray}Z_{RC}(s)&=&H \frac{\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)}{s \left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)}\\&=&H\frac{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_0}{s^{n}+b_{m-1}s^{n-1}+...+b_{1}s^2+b_0 s}\\&=&R_{1}+\frac{1}{C_{2}s+\frac{1}{R_{3}+\frac{1}{C_{4}s+\frac{1}{R_{5}+...}}}}\end{eqnarray}$ 第二形ではインピーダンス関数を最も次数の低い項から切り出していくので $\begin{eqnarray}Z_{RC}(s)&=&H \frac{\left(s+{\alpha_{1}}\right)\left(s+{\alpha_{3}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-1}}\right)}{s \left(s+{\alpha_{2}}\right)\left(s+{\alpha_{4}}\right)...\left(s+{\alpha_{2n-2}}\right)}\\&=&H(\frac{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_0}{s^{n}+b_{m-1}s^{n-1}+...+b_{1}s+b_0 s})\\&=&H(\frac{1+a_{n-1}s^{-1}+...+a_{1}s^{1-n}+a_0{s^{-n}}}{1+b_{m-1}s^{-1}+...+b_{1}s^{2-n}+b_0{s^{1-n}}})\\&=&H(\frac{1+a_{n-1}p+...+a_{1}p{n-1}+a_0{p^n}}{1+b_{m-1}p+...+b_{1}p^{n-2}+b_0{p^{n-1}}})\\&=&H(\frac{a_0{p^n}+a_{1}p{n-1}+...+a_{n-1}p+1}{b_0{p^{n-1}}+b_{1}p^{n-2}+...+b_{m-1}p+1})\\&=&\frac{1}{C_{1}}p+\frac{1}{G_{2}+\frac{1}{\frac{1}{C_{3}}p+\frac{1}{G_{4}+\frac{1}{\frac{1}{C_{5}}p+...}}}}\\&=&\frac{1}{C_{1}s}+\frac{1}{G_{2}+\frac{1}{\frac{1}{C_{3}s}+\frac{1}{G_{4}+\frac{1}{\frac{1}{C_{5}s}+...}}}}\\p&=&s^{-1}\end{eqnarray}$ 今度は駆動点インピーダンス関数の逆数としてのアドミッタンス関数をCauer展開した場合どうなるか見てみよう。分子と分母の次数が同じなのでインピーダンスの場合と同様に連分数展開する方法でも同じ結果が得られるが式の逆数とした方が簡単である。 $\begin{eqnarray}Y_{RC}(s)&=&\frac{1}{Z_{RC}(s)}\\&=&\frac{1}{R_{1}+\frac{1}{C_{2}s+\frac{1}{R_{3}+\frac{1}{C_{4}s+\frac{1}{R_{5}+...}}}}}\end{eqnarray}$ 最初の素子が並列接続のR1でキャパシタンスが直列、抵抗が並列に生成される。今度は第二形次数の低い項から連分数展開しても同じ結果は得られるがちょっと面倒なのでインピーダンスの式の第二形の逆数をとるのが簡単 $\begin{eqnarray}Y_{RC}(s)&=&\frac{1}{Z_{RC}(s)}\\&=&\frac{1}{\frac{1}{C_{1}s}+\frac{1}{G_{2}+\frac{1}{\frac{1}{C_{3}s}+\frac{1}{G_{4}+\frac{1}{\frac{1}{C_{5}s}+...}}}}}\end{eqnarray}$ 最初の素子が並列C1で抵抗が直列にキャパシタが並列接続される。勘違いしやすくて最後まで嵌った。 RL一端子対回路の時には上の２ケースはやらなかったが、逆数の式を考えれば良いだけなので読者の課題としよう(´∀` )

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題名	投稿者	日時
1端子対回路	webadm	2009-10-15 7:06
複素角周波数	webadm	2009-10-15 19:22
インピーダンス関数	webadm	2009-10-15 21:47
正実関数(Positive Real Function)	webadm	2009-10-16 1:11
リアクタンス関数	webadm	2009-10-22 7:47
Foster展開（部分分数展開）	webadm	2009-11-11 19:00
Cauer展開（連分数展開）	webadm	2009-11-12 1:04
Re: Cauer展開（連分数展開）	webadm	2009-12-20 2:36
RL一端子対回路	webadm	2009-12-2 4:14
» RC一端子対回路	webadm	2009-12-24 19:18
逆回路(Inverse Network)	webadm	2009-12-25 18:57
定抵抗回路(constant resistance network)	webadm	2009-12-25 21:21

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