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webadm | 投稿日時: 2012-5-23 4:47 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088 |
RLC直列回路(交流入力) 次はRLC直列回路の交流版
静止状態にあるRLC直列回路にt=0で正弦波交流を加えるとき、流れる電流iおよび電荷qを求めよ。 e=Em sin(ωt+θ) というもの。 前問に回路にRが挿入された形。現実のLC直列回路は実際には内部抵抗を伴うのでRLC直列回路となる。 以下の関係式が成り立つ これをHeaviside演算子とベクトルで書き直すと これを演算子法で解くと (2012/5/26) この問題に至って計算がかなり困難になっている。これまでも直流電源の場合には似たような逆演算子の形は登場したが、今回は電源が正弦波交流ということで直流の場合と違って定数ではなく積分の外に出すことができない。これが計算を複雑にしている。 まずは以下の共通の積分を計算しておこう ということになる。 従って解は 式の最初の部分はすぐに三角関数の合成定理を思いついて簡単に整理できたが、残りの部分を著者の解と同様に整理するのにかなり時間を要した。多項式を分解して整理し直せば同じ合成が適用できるという事実を発見してなんとか見通しがたった。mimetexが扱い切れないので後半の処理は以下に示す。 ということになる。 だいぶ式を操作する過程で転記ミスや誤記が頻発してなかなか確信のもてる結果が得られなかったが、検算にMaximaを使用するなどしてやっと最終形にたどりついた。 この時点で著者の電流に関する最終解に明らかな誤り(転記ミス)があるのを発見した。 ここまでは過減衰のケースなので、以前にもやったようにこれをベースに臨界減衰と不足減衰のケースの解を導くことができる。 臨界減衰のケースの解は、過減衰の解をβ=sqrt((R/(2*L)^2-1/(C*L)→0へ極限以降することにより ということになる。 不足減衰のケースはβ=jγと置き換えればよく ということになる。 θ=0,ω=1,Em=C=L=1,R=10とおいて過減衰のケースをプロットしてみると ということになる。 同じ条件で回路シミュレーターによる結果も上の厳密解とよく一致している。 意外にも電流は定常時とほとんど変わらないが、過渡現象は電荷によく現れている。 今度は同じ回路でR=2として臨界減衰についてプロットしてみると ということになる。過減衰のケースより早く定常状態に至っていることがわかる。 最後に同じ回路でR=1,L=2として不足減衰についてプロットしてみると ということになる。電源よりも幾分長い周期で振動が見られアンダーシュートとオーバーシュートが確認できる。 ここにきて、たかがRLC直列回路とはいえ電源が時間の関数になるだけで、解析は困難を極めるようになった。回路シミュレーターではほとんど労力なく同じ結果を得ることができる点で現代の技術者は恵まれすぎているのかもしれない。 |
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過渡現象演習問題 | webadm | 2011-11-1 17:19 |
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