いきなり来ましたかδ関数。

図のステップ関数u(t)およびδ関数δ(t)をLaplace変換せよ。



著者はいきなり問題分から間違っています。δ関数はu(t)ではなくδ(t)です。

単位ステップ関数については１９世紀にHeavisideが提示してから既に知られていたが、δ関数はDiracが提示する２０世紀を待たなければならない。

ここではδ関数は単位ステップ関数の導関数であると定義することにしよう。

すなわち



ということにしよう。

そこで単位ステップ関数のLaplace変換は



ということになる。

従ってδ関数のLaplace変換は導関数のLaplace変換の性質を使えば



と導くことができる。ただし単位ステップ関数やδ関数のLaplace変換ではf(0)はf(-0)=0と見なすことにする。単位ステップ関数はt=0で∞かつ[-∞,+∞]の定義区間での積分が1となる超関数であるδ関数の積分関数であるので、定義区間を[-0,∞]に拡張する必要があるためだ。

この点に関する厳密な議論は普通のテキストでは扱っていない。そうする必要があるのだと合点するしかない。

最初にこういう例外的な関数のLaplace変換が出てくると、ここで躓いて先へ進めない人も出るかもしれない。最初の試練である。