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webadm	投稿日時: 2012-8-29 5:07
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	続：推移定理次も推移定理らしい次のLaplace変換を求めよ。 (1) $t sinωt$ (2) $t exp(-at) sinωt$ (3) $t exp(-at) cosωt$ というもの。これを著者と別解でやるというのが意外に難しい。考え中(｡-_-｡)...Σ (ﾟДﾟ;） Laplace変換の諸性質でおさらいした複素微分に関するLaplace変換の性質をすっかり忘れていた $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[f\left(t\right)\right]&=&F\left(s\right)\\<br />\frac{d}{ds}F\left(s\right)&=&\mathcal{L}\left[-t\,f\left(t\right)\right]<br />\end{eqnarray}$ これが使える。 $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[t\,f\left(t\right)\right]&=&-\frac{d}{ds}F\left(s\right)<br />\end{eqnarray}$ f(t)をsinωtに置き換えればよく $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[t\,\sin\omega\,t\right]&=&-\frac{d}{ds}F\left(s\right)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\right)\\<br />&=&\frac{2\,\omega\,s}{\left(s^2+\omega^2\right)^2}<br />\end{eqnarray}$ できたじゃないか( ´∀`) そうするとこの結果を用いれば(2)は推移定理を使って簡単に $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[e^{-a\,t}\,f\left(t\right)\right]&=&F\left(s+a\right)\\<br />\mathcal{L}\left[t\,e^{-a\,t}\,\sin\omega\,t\right]&=&\mathcal{L}\left[e^{-a\,t}t\,\sin\omega\,t\right]=\frac{2\,\omega\,\left(s+a\right)}{\left(\left(s+a\right)^2+\omega^2\right)^2}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 (3)も(1),(2)と同様に複素微分のLaplace変換の性質と推移定理を使って $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[t\,\cos\omega\,t\right]&=&-\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^2+\omega^2}\right)\\<br />&=&\frac{s^2-\omega^2}{\left(s^2+\omega^2\right)^2}\\<br />\mathcal{L}\left[t\,e^{-a\,t}\,\cos\omega\,t\right]&=&\mathcal{L}\left[e^{-a\,t}t\,\cos\omega\,t\right]=\frac{\left(s+a\right)^2-\omega^2}{\left(\left(s+a\right)^2+\omega^2\right)^2}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。なんだ簡単じゃないか( ´∀`) P.S 当初はtとsinωtの２つの関数の積と考えてたたみ込み積分の形式を考えていたが２位の極が現れてどうしようもなくなり、他の性質が使えないか順番にチェックしていったら複素積分のLaplace変換が使えると気づいたのは内緒だ。この複素微分のLaplace変換の性質を提示しているテキストは少ない。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
» 続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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