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webadm	投稿日時: 2012-8-31 7:29
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	続：Laplace逆変換次もLaplace逆変換の問題つぎの関数をLaplace逆変換せよ。 $(1) (2s+3)/(s+3)^2(s+4) (2) (s+3)/s^2(s-2)^2 (3) 1/(s+2)^2(s^2+1) (4) (s+2)/s(s^2+2s+5)$ というもの。 (4)を除いて全て二位の極を持つs関数である。またしてもへそ曲がりな方法で (1)はLaplace変換対表と畳み込み積分の性質を用いて $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2\,s+3}{\left(s+3\right)^2\left(s+4\right)}\right]&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2\,s}{\left(s+3\right)^2\left(s+4\right)}+\frac{3}{\left(s+3\right)^2\left(s+4\right)}\right]=2\,\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s}{\left(s+3\right)^2}\frac{1}{\left(s+4\right)}\right]+3\,\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s+3\right)^2}\frac{1}{\left(s+4\right)}\right]\\<br />&=&2\,\int_{0}^{t}e^{-3\,\tau}\left(1-3\,\tau\right)e^{-4\left(t-\tau\right)}d\tau+3\,\int_{0}^{t}\tau\,e^{-3\,\tau}e^{-4\,\left(t-\tau\right)}d\tau\\<br />&=&2\,e^{-4\,t}\int_{0}^{t}e^{\tau}\left(1-3\,\tau\right)d\tau+3\,e^{-4\,t}\int_{0}^{t}\tau\,e^{\tau}d\tau=2\,e^{-4\,t}\left[e^{\tau}\left(1-3\,\tau\right)\right]_{0}^{t}+2\,e^{-4\,t}\int_{0}^{t}3\,e^{\tau}d\tau+3\,e^{-4\,t}\left[\tau\,e^{\tau}\right]_{0}^{t}-3\,e^{-4\,t}\int_{0}^{t}e^{\tau}d\tau\\<br />&=&2\,e^{-4\,t}\left[e^{t}\left(1-3\,t\right)-1\right]+2\,e^{-4\,t}\left[3\,e^{\tau}\right]_{0}^{t}+3\,e^{-4\,t}t\,e^{t}-3\,e^{-4\,t}\left[e^{\tau}\right]_{0}^{t}\\<br />&=&2\,e^{-3\,t}-6\,t\,e^{-4\,t}-2\,e^{-4\,t}+2\,e^{-4\,t}\left[3\,e^{t}-3\right]+3\,t\,e^{-3\,t}-3\,e^{-4\,t}\left[e^{t}-1\right]\\<br />&=&2\,e^{-3\,t}-6\,t\,e^{-4\,t}-2\,e^{-4\,t}+6\,e^{-3\,t}-6\,e^{-4\,t}+3\,t\,e^{-3\,t}-3\,e^{-3\,t}+3\,e^{-4\,t}\\<br />&=&5\,e^{-3\,t}-3\,t\,e^{-4\,t}-5\,e^{-4\,t}\\<br />&=&5\,e^{-3\,t}\left(1-\left(\frac{3}{5}\,t+1\right)e^{-t}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。馬鹿の一つ覚えだが、複素積分ではないので間違いを犯さなければ平気だ。 (2)は時間積分のLaplace変換の性質を利用し $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s+3}{s^3\left(s-2\right)^2}\right]&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\cancel{s}}{s^{\cancel{3}2}\left(s-2\right)^2}+\frac{3}{s^3\left(s-2\right)^2}\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2}\frac{1}{\left(s-2\right)^2}\right]+3\,\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\frac{1}{s^2\left(s-2\right)^2}\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2}\frac{1}{\left(s-2\right)^2}\right]+3\,\int_{0}^{t}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2}\frac{1}{\left(s-2\right)^2}\right]dt\\<br />&=&\frac{1}{4}\left(\left(t+1\right)+\left(t-1\right)e^{2\,t}\right)+\frac{3}{4}\,\int_{0}^{t}\left(\left(\tau+1\right)+\left(\tau-1\right)e^{2\,\tau}\right)d\tau\\<br />&=&\frac{1}{4}\left(\left(t+1\right)+\left(t-1\right)e^{2\,t}\right)+\frac{3}{4}\left[\frac{\tau^2}{2}+\tau+\frac{\tau\,e^{2\,\tau}}{2}-\frac{e^{2\,\tau}}{4}-\frac{e^{2\,\tau}}{2}\right]_{0}^{t}\\<br />&=&\frac{1}{4}\left(\left(t+1\right)+\left(t-1\right)e^{2\,t}\right)+\frac{3}{4}\left(\frac{t^2}{2}+t+\frac{t\,e^{2\,t}}{2}-\frac{e^{2\,t}}{4}-\frac{e^{2\,t}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\\<br />&=&\frac{1}{4}\left(\left(t+1\right)+\left(t-1\right)e^{2\,t}\right)+\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+\frac{3}{8}t\,e^{2\,t}-\frac{9}{16}e^{2\,t}+\frac{9}{16}\\<br />&=&t+\frac{13}{16}+\frac{5}{8}t\,e^{2\,t}-\frac{13}{16}e^{2\,t}+\frac{3}{8}t^2\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2}\frac{1}{\left(s-2\right)^2}\right]&=&\int_{0}^{t}\tau\,\left(t-\tau\right)\,e^{2\,\left(t-\tau\right)}d\tau=t\,\int_{0}^{t}\tau\,e^{2\left(t-\tau\right)}d\tau-\int_{0}^{t}\tau^2\,e^{2\left(t-\tau\right)}d\tau\\<br />&=&t\left[-\frac{\tau\,e^{2\left(t-\tau\right)}}{2}\right]_{0}^{t}+\frac{t}{2}\int_{0}^{t}e^{2\left(t-\tau\right)}d\tau-\left[-\frac{\tau^2\,e^{2\left(t-\tau\right)}}{2}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}2\,\tau\,e^{2\left(t-\tau\right)}d\tau\\<br />&=&-\cancel{\frac{t^2}{2}}+\frac{t}{2}\left[-\frac{e^{2\left(t-\tau\right)}}{2}\right]_{0}^{t}+\cancel{\frac{t^2}{2}}-\frac{1}{2}\left[-\frac{\cancel{2}\,\tau\,e^{2\left(t-\tau\right)}}{\cancel{2}}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}e^{2\left(t-\tau\right)}d\tau\\<br />&=&-\frac{t}{4}+\frac{t\,e^{2\,t}}{4}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\left[-\frac{e^{2\left(t-\tau\right)}}{2}\right]_{0}^{t}\\<br />&=&\frac{t}{4}+\frac{t\,e^{2\,t}}{4}+\frac{1}{4}-\frac{e^{2\,t}}{4}\\<br />&=&\frac{1}{4}\left(\left(t+1\right)+\left(t-1\right)e^{2\,t}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ずいぶんともってまわった解き方になってしまったが原理的にはこれでもいけるということが判る。ちなみに時間積分関数のLaplace変換には積分関数の初期値項があるが、このケースではt=0でそれは0であることを解の関数を積分することで確かめることができる。 (3)もどうも畳み込み積分臭がぷんぷんする（´Д｀；） $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s+2\right)^2\left(s^2+1\right)}\right]&=&\int_{0}^{t}\left(t-\tau\right)\,e^{-2\left(t-\tau\right)}\,\sin\,\tau\,d\tau=t\,e^{-2\,t}\int_{0}^{t}e^{2\,\tau}\,\sin\,\tau\,d\tau-e^{-2\,t}\int_{0}^{t}\tau\,e^{2\,\tau}\,\sin\,\tau\,d\tau\\<br />&=&t\,e^{-2\,t}\frac{1}{5}\left(2\,e^{2\,t}\,\sin\,t-e^{2\,t}\,\cos\,t+1\right)-e^{-2\,t}\frac{1}{5}\left(2\,t\,e^{2\,t}\sin\,t-t\,e^{2\,t}\,\cos\,t-\frac{3}{5}\,e^{2\,t}\,\sin\,t+\frac{4}{5}\,e^{2\,t}\,\cos\,t-\frac{4}{5}\right)\\<br />&=&\cancel{\frac{2}{5}t\,\sin\,t}-\cancel{\frac{1}{5}t\,\cos\,t}+\frac{1}{5}t\,e^{-2\,t}-\cancel{\frac{2}{5}t\,\sin\,t}+\cancel{\frac{1}{5}t\,\cos\,t}+\frac{3}{25}\sin\,t-\frac{4}{25}\cos\,t+\frac{4}{25}e^{-2\,t}\\<br />&=&\frac{1}{5}t\,e^{-2\,t}+\frac{3}{25}\sin\,t-\frac{4}{25}\cos\,t+\frac{4}{25}e^{-2\,t}\\<br />&=&\frac{1}{5}t\,e^{-2\,t}+\frac{1}{5}\left(\sin\,\phi\sin\,t-\cos\,\phi\cos\,t\right)+\frac{4}{25}e^{-2\,t}\\<br />&=&\frac{1}{5}\left(\left(t+\frac{4}{5}\right)e^{-2\,t}-\cos\left(t+\phi\right)\right)<br />\sin\,\phi&=&\frac{3}{5}\\<br />\cos\,\phi&=&\frac{4}{5}\\<br />\tan\,\phi&=&\frac{\sin\,\phi}{\cos\,\phi}=\frac{3}{4}\\<br />\int_{0}^{t}e^{2\,\tau}\,\sin\,\tau\,d\tau&=&\left[-e^{2\,\tau}\,\cos\,\tau\right]_{0}^{t}+2\,\int_{0}^{t}e^{2\,\tau}\cos\,\tau\,d\tau=-e^{2\,t}\,\cos\,t+1+2\,\left[e^{2\,\tau}\,\sin\,\tau\right]_{0}^{t}-4\,\int_{0}^{t}e^{2\,\tau}\.\sin\,\tau\,d\tau=e^{2\,t}\,\sin\,t-2\,e^{2\,t}\,\cos\,t+1-4\,\int_{0}^{t}e^{2\,\tau}\,\sin\,t\,d\tau\\<br />&=&\frac{1}{5}\left(2\,e^{2\,t}\,\sin\,t-e^{2\,t}\,\cos\,t+1\right)\\<br />\int_{0}^{t}\tau\,e^{2\,\tau}\sin\,\tau\,d\tau&=&\left[-\tau\,e^{2\,\tau}\,\cos\,\tau\right]_{0}^{t}+\int_{0}^{t}\left(e^{2\,\tau}+2\,\tau\,e^{2\,\tau}\right)\cos\,\tau\,d\tau=-t\,e^{2\,t}\,\cos\,t+\int_{0}^{t}e^{2\,\tau}\,\cos\,\tau\,d\tau+2\,\int_{0}^{t}\tau\,e^{2\,\tau}\,\cos\,\tau\,d\tau\\<br />&=&-t\,e^{2\,t}\,\cos\,t+\left[e^{2\,\tau}\,\sin\,\tau\right]_{0}^{t}-2\,\int_{0}^{t}e^{2\,\tau}\,\sin\,\tau\,d\tau+2\,\left[\tau\,e^{2\,\tau}\,\sin\,\tau\right]_{0}^{t}-2\,\int_{0}^{t}\left(e^{2\,\tau}+2\,\tau\,e^{2\,\tau}\right)\,\sin\,\tau\,d\tau\\<br />&=&-t\,e^{2\,t}\,\cos\,t+e^{2\,t}\,\sin\,t-\frac{4}{5}\left(2\,e^{2\,t}\,\sin\,t-e^{2\,t}\,\cos\,t+1\right)+2\,t\,e^{2\,t}\sin\,t-4\,\int_{0}^{t}\tau\,e^{2\,\tau}\,\sin\,\tau\,d\tau\\<br />&=&\frac{1}{5}\left(2\,t\,e^{2\,t}\sin\,t-t\,e^{2\,t}\,\cos\,t-\frac{3}{5}\,e^{2\,t}\,\sin\,t+\frac{4}{5}\,e^{2\,t}\,\cos\,t-\frac{4}{5}\right)\\<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ふう、積分計算を間違えまくりだった。 (4)も(2)と同様に $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s+2}{s\left(s^2+2\,s+5\right)}\right]&=&\frac{1}{2}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2\cancel{s}}{\cancel{s}\left(\left(s+1\right)^2+4\right)}\right]+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\frac{2}{\left(\left(s+1\right)^2+4\right)}\right]=\frac{1}{2}e^{-t}\,\sin\,2\,t+\int_{0}^{t}e^{-\tau}\,\sin\,2\,\tau\,d\tau\\<br />&=&\frac{1}{2}e^{-t}\,\sin\,2\,t+\left[-\frac{e^{-\tau}\,\cos\,2\,t}{2}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}e^{-\tau}\,\cos\,2\,\tau\,d\tau\\<br />&=&\frac{1}{2}e^{-t}\,\sin\,2\,t-\frac{1}{2}e^{-t}\,\cos\,2\,t+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-\tau}\,\sin\,2\,\tau}{2}\right]_{0}^{t}-\frac{1}{4}\int_{0}^{t}e^{-\tau}\,\sin\,2\,t\,d\tau\\<br />&=&\frac{1}{2}e^{-t}\,\sin\,2\,t-\frac{1}{2}e^{-t}\,\cos\,2\,t+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}e^{-t}\,\sin\,2\,t-\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}e^{-t}\,\cos\,2\,t+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}e^{-t}\,\sin\,2\,t\right)\\<br />&=&\frac{1}{2}e^{-t}\,\sin\,2\,t-\frac{1}{2}e^{-t}\,\cos\,2\,t+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}e^{-t}\,\sin\,2\,t+\frac{1}{10}e^{-t}\,\cos\,2\,t-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}e^{-t}\,\sin\,2\,t\\<br />&=&\frac{3}{10}e^{-t}\sin\,2\,t-\frac{2}{5}e^{-t}\,\cos\,2\,t+\frac{2}{5}=\left(\frac{3}{10}\sin\,2\,t-\frac{2}{5}\cos\,2\,t\right)e^{-t}+\frac{2}{5}\\<br />&=&\frac{1}{2}\left(\sin\phi\,\sin\,2\,t-\cos\phi\,\cos\,2\,t\right)e^{-t}+\frac{2}{5}\\<br />&=&\frac{2}{5}-\frac{1}{2}\cos\left(2\,t+\phi\right)e^{-t}\\<br />\sin\phi&=&\frac{3}{5}\\<br />\cos\phi&=&\frac{4}{5}\\<br />\tan\phi&=&\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{3}{4}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。著者の(4)の解はどこをどう間違えたのか途中から虚数単位が混じった複素関数になってしまっている。その時点で普通間違いに気づくだろう。問題を若い学生に急ぎで解かせて著者はその答案をノーチェックで出版社に原稿として渡したとしか考えられない。Laplace変換して問題文のs関数になるか確かめてみれば明らか。著者がどこをどう間違えたか見つけるのは読者の課題としよう( ´∀`) P.S Heavisideの演算子法では部分分数展開が常套手段であったが、Laplace変換では必ずしもそれしかないという訳ではないところが面白い。部分分数展開はやっかいだし、著者ですら誤りを犯す。といっても畳み込み積分も単純な式の転記ミスで大分手間取った。 (2),(4)は普通のテキストには書いていない積分関数のLaplace変換の性質を用いているが、注意点としては積分関数のt=0での初期値が0でない場合には積分定数が現れるという点である。(2),(4)ともたまたま積分関数がt=0において0であるため積分定数は0となるので問題ない。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
» 続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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