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webadm	投稿日時: 2012-9-2 3:08
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	微分方程式次は微分方程式を解く問題次の微分方程式を解け、ただし、y(0)=1とする。 $(1) dy/dt+2y=0 (2) dy/dt+3y=exp(at)$ というもの。 Laplace変換やLaplace逆変換についてみっちり演習したおかげで本来の微分方程式をLaplace変換を使ってどうやって解くんだったか忘れてしまった。思い出そう。 step1: 微分方程式の未知関数y(t)のLaplace変換をY(s)とする step2: 微分方程式の両辺をLaplace変換し、未知関数のLaplace変換Y(s)に関する代数方程式に変換する step3: Y(s)について解く step4; Y(s)をLaplace逆変換しy(t)を求めると言う感じだ。とにかく未知関数y(t)のLaplace変換をY(s)とすればLaplace変換の諸性質や変換対公式を使ってs空間に写せばよい。あとはY(s)について解いたらそれをLaplace逆変換するだけ。 (1)についてやってみると $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[y\left(t\right)\right]&=&Y\left(s\right)\\<br />\mathcal{L}\left[\frac{d}{dt}y\left(t\right)\right]&=&s\,Y\left(s\right)-y\left(0\right)\\<br />\mathcal{L}\left[\frac{d}{dt}y\left(t\right)+2\,y\left(t\right)\right]&=&s\,Y\left(s\right)-y\left(0\right)+2\,Y\left(s\right)=\left(s+2\right)Y\left(s\right)-y\left(0\right)=0\\<br />Y\left(s\right)&=&\frac{y\left(0\right)}{s+2}\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[Y\left(s\right)\right]&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{y\left(0\right)}{s+2}\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+2}\right]\\<br />&=&e^{-2\,t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。同様に(2)も $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[y\left(t\right)\right]&=&Y\left(s\right)\\<br />\mathcal{L}\left[\frac{d}{dt}y\left(t\right)\right]&=&s\,Y\left(s\right)-y\left(0\right)\\<br />\mathcal{L}\left[e^{a\,t}\right]&=&\frac{1}{s-a}\\<br />\mathcal{L}\left[\frac{d}{dt}y\left(t\right)+3\,y\left(t\right)\right]&=&s\,Y\left(s\right)-y\left(0\right)+3\,Y\left(s\right)=\mathcal{L}\left[e^{a\,t}\right]=\left(s+3\right)Y\left(s\right)-y\left(0\right)=\frac{1}{s-a}\\<br />Y\left(s\right)&=&\left(\frac{1}{s-a}+y\left(0\right)\right)\frac{1}{s+3}=\frac{1}{\left(s-a\right)\left(s+3\right)}+\frac{y\left(0\right)}{s+3}=\frac{1}{\left(s-a\right)\left(s+3\right)}+\frac{1}{s+3}\\<br />\mathcal{L}^{-1}\left[Y\left(t\right)\right]&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s-a\right)\left(s+3\right)}+\frac{1}{s+3}\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s-a\right)\left(s+3\right)}\right]+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+3}\right]\\<br />&=&\int_{0}^{t}e^{a\,\tau}e^{-3\left(t-\tau\right)}d\tau+e^{-3\,t}=e^{-3\,t}\int_{0}^{t}e^{\left(a+3\right)\,\tau}d\tau+e^{-3\,t}\\<br />&=&e^{-3\,t}\left[\frac{e^{\left(a+3\right)\,\tau}}{a+3}\right]_{0}^{t}+e^{-3\,t}=e^{-3\,t}\left(\frac{e^{\left(a+3\right)\,t}}{a+3}-\frac{1}{a+3}+1\right)=e^{-3\,t}\left(\frac{e^{\left(a+3\right)\,t}}{a+3}+\frac{a+2}{a+3}\right)\\<br />&=&\frac{1}{a+3}e^{a\,t}+\frac{a+2}{a+3}e^{-3\,t}\ \ \ \ \left(a\ne-3\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ただし上の解ではa=-3ではy(t)の微分が存在しないので微分方程式が成立しないのである。とんでもない引っかけ問題である。ここで解答を終えると点数がもらえないか、もらえても半分しかもらえないだろう。 a=-3の場合は別途考える必要がある。未知関数のLaplace変換Y(s)のaに-3を代入すると $\begin{eqnarray}<br />\left. \mathcal{L}^{-1}\left[Y\left(s\right)\right]\right\|_{a=-3}&=&\left. \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s-a\right)\left(s+3\right)}+\frac{1}{s+3}\right]\right\|_{a=-3}=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s+3\right)^2}\right]+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+3}\right]=t\,e^{-3\,t}+e^{-3\,t}\\<br />&=&\left(t+1\right)e^{-3\,t}\ \ \ \ \left(a=-3\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。導関数のLaplace変換や積分関数のLaplace変換には積分項（初期値項）があるのを忘れないようにしないといけない。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
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まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
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