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webadm	投稿日時: 2012-9-2 17:24
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	周期関数演習問題の３分の１が終わった。次は周期関数のLapalce変換の問題周期関数のLappalce変換に関する公式を証明し、これを用いて図のような方形パルス列をLaplace変換せよ。というもの。周期関数のLaplace変換は理論をおさらいしたときに証明してしまった気がするが思い出してみる。 Laplace変換は線形変換なので、時間領域と同様に重ね合わせができる。任意の周期関数は、一周期分だけの関数をf0(t)とすると、それ移行の繰り返しは周期をTとするとf0(t-nT)となる。従ってそれを時間領域で重ね合わせれば周期関数f(t)は $\begin{eqnarray}<br />f\left(t\right)&=&\sum_{n=0}^{\infty}f_0\left(t-n\,T\right)<br />\end{eqnarray}$ と表すことができる。従って周期関数のLaplace変換は推移定理を用いて $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[f\left(t\right)\right]&=&\mathcal{L}\left[\sum_{n=0}^{\infty}f_0\left(t-n\,T\right)\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\mathcal{L}\left[f_0\left(t-n\,T\right)\right]=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n\,T\,s}F_0\left(s\right)\\<br />&=&\left(1+e^{-T\,s}+e^{-2\,T\,s}+\cdots+e^{-n\,T\,s}+\cdots\right)\,F_0\left(s\right)=S\,F_0\left(s\right)\\<br />&=&\frac{F_0\left(s\right)}{1-e^{-T\,s}}<br />S&=&1+e^{-T\,s}+e^{-2\,T}+\cdots+e^{-n\,T}+\cdots=1+S\,e^{-T\,s}\\<br />&=&\frac{1}{1-e^{-T\,s}}\ \ \ \ \left(Re\ s \gt 0\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って、題意の関数の初回周期だけの関数f0(t)のLaplace変換を求めると $\begin{eqnarray}<br />f_0\left(t\right)&=&f\left(t\right)\,\left(U\left(t\right)-U\left(t-T\right)\right)=f\left(t\right)\,U\left(t\right)-f\left(t\right)\,U\left(t-T\right)\\<br />F_0\left(s\right)&=&\mathcal{L}\left[f_0\left(t\right)\right]=\mathcal{L}\left[f\left(t\right)\,U\left(t\right)\right]-\mathcal{L}\left[f\left(t\right)\,U\left(t-T\right)\right]=\int_{0}^{\infty}f\left(t\right)\,e^{-s\,t}dt-\int_{T}^{\infty}f\left(t\right)\,e^{-s\,t}dt\\<br />&=&\int_{0}^{T}f\left(t\right)e^{-s\,t}dt=\int_{0}^{\tau}e^{-s\,t}dt+\int_{\tau}^{T}0\,dt\\<br />&=&\left[-\frac{e^{-s\,t}}{s}\right]_{0}^{\tau}\\<br />&=&\frac{1}{s}-\frac{e^{-\tau\,s}}{s}\\<br />&=&\frac{1}{s}\left(1-e^{-\tau\,s}\right)\\<br />F\left(s\right)&=&\mathcal{L}\left[f\left(t\right)\right]=\frac{F_0\left(s\right)}{1-e^{-T\,s}}=\frac{\frac{1}{s}\left(1-e^{-\tau\,s}}{1-e^{-T\,s}}\\<br />&=&\frac{1-e^{-\tau\,s}}{s\left(1-e^{-T\,s}\right)}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 P.S 周期関数のLaplace変換の証明でつきものの、指数関数の無限級数が単純な有理関数で表せるのは、一般の二項定理と呼ばれているものである。sの実数部が0より大きいことが級数の和Sが収束するための必要十分条件である。二項定理の証明に必要な上で使った単純な数式トリックは常識なのかほとんど説明しているものを見たことがない。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
» 周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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