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webadm	投稿日時: 2012-9-2 19:17
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	続：周期関数次も周期関数の問題図(a),(b)のような半波整流波とのこぎり波をLaplace変換せよというもの。任意の周期関数のLaplace変換の性質を用いれば前問と同じように step1:繰り返し関数の単一周期のみのLaplace変換F0(s)を求める step2:繰り返し関数のLaplace変換の性質からF0(s)/(1-e^{-Ts}) というプログラムで求めることができる。 (a)について $\begin{eqnarray}<br />f_0\left(t\right)&=&\left(U\left(t\right)-U\left(t-\frac{T}{2}\right)\right)\,A\,\sin\,\omega\,t\\<br />F_0\left(0\right)&=&\mathcal{L}\left[f_0\left(t\right)\right]=\int_{0}^{\infty}f_0\left(t\right)e^{-s\,t}dt=\int_{0}^{\infty}\left(U\left(t\right)-U\left(t-\frac{T}{2}\right)\right)\,A\,\sin\,\omega\,t\,e^{-s\,t}dt\\<br />&=&\int_{0}^{\frac{T}{2}}A\,\sin\,\omega\,t\,e^{-s\,t}dt=\left[-\frac{A\,\cos\,\omega\,t\,e^{-s\,t}}{\omega}\right]_{0}^{\frac{T}{2}}+\frac{s}{\omega}\int_{0}^{\frac{T}{2}}A\,\cos\,\omega\,t\,e^{-s\,t}dt\\<br />&=&\frac{A}{\omega}e^{-\frac{s\,T}{2}}+\frac{A}{\omega}-\frac{s}{\omega}\left[\frac{A\,\sin\,\omega\,t\,e^{-s\,t}}{\omega}\right]_{0}^{\frac{T}{2}}-\frac{s^2}{\omega^2}\int_{0}^{\frac{T}{2}}A\,\sin\,\omega\,t\,e^{-s\,t}dt\\<br />&=&\left(1-\frac{s^2}{s^2+\omega^2}\right)\frac{A}{\omega}\left(1+e^{-\frac{s\,T}{2}}\right)=\frac{\omega^{\cancel{2}}}{s^2+\omega^2}\frac{A}{\cancel{\omega}}\left(1+e^{-\frac{s\,T}{2}}\right)<br /><br />F\left(s\right)&=&\frac{F_0\left(0\right)}{1-e^{-s\,T}}=\frac{A\,\omega\,\left(1+e^{-\frac{s\,T}{2}}\right)}{\left(1-e^{-s\,T}\right)\left(s^2+\omega^2\right)}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。一方(b)については $\begin{eqnarray}<br />f_0\left(t\right)&=&\begin{case}\frac{A}{T}t\ \ \ \ \left(0 \le t \le T\right)\\ 0\ \ \ \ \left(T \lt t\right)\end{case}\\<br />F_0\left(s\right)&=&\mathcal{L}\left[f_0\left(t\right)\right]=\int_{0}^{\infty}f_0\left(t\right)e^{-s\,t}dt=\int_{0}^{T}\frac{A}{T}\,t\,e^{-s\,t}dt\\<br />&=&\left[-\frac{\frac{A}{T}\,t\,e^{-s\,t}}{s}\right]_{0}^{T}+\frac{1}{s}\int_{0}^{T}\frac{A}{T}\,e^{-s\,t}dt=-\frac{A\,e^{-s\,T}}{s}+\frac{1}{s}\left[-\frac{\frac{A}{T}\,e^{-s\,t}}{s}\right]_{0}^{T}\\<br />&=&-\frac{A\,e^{-s\,T}}{s}-\frac{\frac{A}{T}\.e^{-s\,T}}{s^2}+\frac{\frac{A}{T}}{s^2}\\<br />&=&-\frac{A}{s}e^{-s\,T}+\frac{A}{T\,s^2}\left(1-e^{-s\,T}\right)\\<br />F\left(s\right)&=&\mathcal{L}\left[f\left(t\right)\right]=\frac{F_0\left(s\right)}{1-e^{-s\,T}}=\frac{1}{1-e^{-s\,T}}\left(-\frac{A}{s}e^{-s\,T}+\frac{A}{T\,s^2}\left(1-e^{-s\,T}\right)\right)\\<br />&=&\frac{A}{T\,s^2}-\frac{A}{s\left(1-e^{-s\,T}\right)}e^{-s\,T}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 P.S 任意の繰り返し関数のLaplace変換を求めるのは、右辺に任司の繰り返し関数が現れるような非同次微分方程式を解く際に有用である。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
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続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
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パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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