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webadm	投稿日時: 2012-9-2 22:17
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	RC直列回路次はRC直列回路の問題 RC直列回路にt=0で直流電圧Eを加えるとき流れる電流iを示せ。ただしキャパシタンスCには初期電荷Qがあるものとする。というもの。前問と同じ手順で解くことができる。前問では初期条件が0だったが、今度は0ではない初期条件が与えられている点に注意。以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />R\,i\left(t\right)+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}\,i\left(\tau\right)\,d\tau&=&E\\<br />\end{eqnarray}$ 未知関数i(t)のLaplace変換をとりあえずI(s)とすれば、時間積分のLaplace変換の性質を使って $\begin{eqnarray}<br />\mathcal{L}\left[i\left(t\right)\right]&=&I\left(s\right)\\<br />\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}\,i\left(\tau\right)d\tau\right]&=&\frac{1}{s}I\left(s\right)+i^{-1}\left(0\right)\\<br />\mathcal{L}\left[R\,i\left(t\right)+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}\,i\left(\tau\right)\,d\tau\right]&=&R\,I\left(s\right)+\frac{1}{C\,s}\left(I\left(s\right)+i^{-1}\left(0\right)\right)=\left(R+\frac{1}{C\,s}\right)I\left(s\right)+\frac{1}{C\,s}i^{-1}\left(0\right)=\mathcal{L}\left[E\right]=\frac{E}{s}\\<br />I\left(s\right)&=&\frac{E-\frac{1}{C}i^{-1}\left(0\right)}{s\left(R+\frac{1}{C\,s}\right)}=\frac{E-\frac{1}{C}i^{-1}\left(0\right)}{R\left(s+\frac{1}{R\,C}\right)}\\<br />i\left(t\right)&=&\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E-\frac{1}{C}i^{-1}\left(0\right)}{R\left(s+\frac{1}{R\,C}\right)}\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E}{R\left(s+\frac{1}{R\,C}\right)}\right]-\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\frac{1}{C}i^{-1}\left(0\right)}{R\left(s+\frac{1}{R\,C}\right)}\right]=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{R\,C}\,t}-i^{-1}\left(0\right)\frac{1}{R\,C}e^{-\frac{1}{R\,C}t}\\<br />&=&\left(\frac{E}{R}-\frac{Q}{R\,C}\right)e^{-\frac{1}{R\,C}\,t}\ \ \ \ \left(i^{-1}\left(0\right)=Q\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。積分関数のLaplace変換と導関数のLaplace変換とでは初期値項の極性が異なる点に注意。この問題の場合には、いくつも別解が考えられる。例えば、Cに蓄積されている電荷q(t)を未知関数として方程式をたてても良い。その場合には、電流iは電荷の導関数となる。 $\begin{eqnarray}<br />R\,\frac{d}{dt}q\left(t\right)+\frac{1}{C}q\left(t\right)&=&E<br />\end{eqnarray}$ q(t)のLaplace変換をQ(s)とすれば $\begin{eqnarray}<br />R\,\left(s\,Q\left(s\right)-q\left(0\right)\right)+\frac{1}{C}Q\left(s\right)&=&\left(R\,s+\frac{1}{C}\right)Q\left(s\right)-R\,q\left(0\right)=\frac{E}{s}\\<br />Q\left(s\right)&=&\frac{E+s\,R\,q\left(0\right)}{s\left(R\,s+\frac{1}{C}\right)}=\frac{E+s\,R\,q\left(0\right)}{s\,R\left(s+\frac{1}{R\,C}\right)}\\<br />q\left(t\right)&=&\frac{E}{R}\int_{0}^{t}e^{-\frac{1}{R\,C}t}dt+q\left(0\right)e^{-\frac{1}{R\,C}t}=\frac{E}{R}\left[-\frac{e^{-\frac{1}{R\,C}t}}{\frac{1}{R\,C}}\right]_{0}^{t}+q\left(0\right)\,e^{-\frac{1}{R\,C}t}\\<br />&=&C\,E\left(1-e^{-\frac{1}{R\,C}t}\right)+Q\,e^{-\frac{1}{R\,C}t}\ \ \ \ \left(q\left(0\right)=Q\right)\\<br />i\left(t\right)&=&\frac{d}{dt}q\left(t\right)=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{R\,C}t}-\frac{Q}{R\,C}e^{-\frac{1}{R\,C}t}\\<br />&=&\left(\frac{E}{R}-\frac{Q}{R\,C}\right)e^{-\frac{1}{R\,C}t}<br />\end{eqnarray}$ と同じ結果が得られる。慣れてくると回路を見ただけで回路方程式がs空間でたてられるようになる。上の電荷を未知関数としてLaplace変換した結果には興味深い項が表れることに注意。電荷のLaplace変換の第一項は電圧Eが加わることによって蓄えられた電荷量を表し、第二項は、Cが最初から蓄えていた電荷量を表している。それらは重ね合わせとして扱えることを示している。これらの性質を理解すれば時間領域で回路方程式をたてるのではなく、最初からs空間で回路方程式をたててしまうことが出来るようになる。そうしればLaplace変換のstepを省くことが出来る。あとはs空間で未知関数を解いて、それをLaplace逆変換すればよいことになる。テキストによっては最初からそうした方法が提示されているものがあり、時間領域の回路方程式と良く似ているため勘違いをし易い。まさしくそれは１９世紀に先駆けてHeavisideが演算子法で見ていた世界なのではあるが。もうひとつの別解は、RもしくはCの両端の電圧を未知関数として方程式をたてる方法。この場合、電流はRの両端であれば、Rで除算、Cの両端であればCで除算すればえられることになる。これは読者の課題としよう( ´∀`)

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
» RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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