次はRL並列回路の問題

図のような回路のスイッチをt=0で閉じたとき、R1,R2に流れる電流i1,i2を求めよ。またt=0,t=∞のときの電流を求め、初期値、最終値の定理の正しいことを確かめよ。



というもの。

未知の関数がi1,i2とあるように見えるが、実際には片方が決まればもう片方がきまる。それらを決定するのがE.R1,R2,Lの定数であることが直感的に予想がつく。

ではどうやってそれを確かめるかが問題だ。

i1がR1に流れることによって電圧降下R*i1が生じることはOhmの法則からわかる。同時にR2にi2が流れるとR2*i2の電圧降下が生じる。これらの和は電圧源Eと常に等しくなるはずだからi1とi2は互いにもう片方で表せてしまうからだ。

この事実を使って回路方程式をたてると



従って第一式をLaplace変換を使ってi1を解くと



ということになる。従ってi2は



ということになる。

まってあまった解き方だけど別解だからよしとしよう。

さて題意の初期値と最終値は



ということになる。

初期値と最終値定理から求めると



ということになる。

つまり初期値、最終値定理は正しいことが確かめられた。

過渡現象の演習問題の時のように行列とベクトルを使って関数ベクトル方程式をたてて解いたほうが簡潔かもしれない。少なくとも著者の解よりは見通しが良いはずだ。それは読者の課題としよう( ´∀`)

P.S

δ関数はなるべくつかうまいと宣言しておきながら、どうしても使わざるを得ない局面では使うとも宣言した。入力が大きさEのステップ電圧入力であることから、i2の式にも電圧入力が含まれるのでそれと併せて単位ステップ関数U(t)が含まれることになる。それを微分するとδ(t)となるわけである。