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webadm	投稿日時: 2012-9-9 18:47
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	続：断続部のある回路次は断続部を伴った回路の問題図の回路は定常状態にあるものとして、t=0でスイッチSを閉じるとどうのような電流が流れるか。というもの。スイッチを閉じた後以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />R_1\,\left(i_1+i_2\right)+L_1\frac{d{i_1}}{dt}+R_1\,i_1&=&E\\<br />R_1\,\left(i_1+i_2\right)+R_2\,i_2&=&E\\<br />\end{eqnarray}$ これをLaplace変換すると $\begin{eqnarray}<br />R_1\left(I_1\left(s\right)+I_2\left(s\right)\right)+L_1\,\left(s\,I_1\left(s\right)-i_1\left(0\right)\right)+R_1\,I_1\left(s\right)&=&\left(2\,R_1+s\,L_1\right)I_1\left(s\right)+R_1\,I_2\left(s\right)-\frac{L_1\,E}{2\,R_1}=\frac{E}{s}\\<br />R_1\left(I_1\left(s\right)+I_2\left(s\right)\right)+R_2\,I_2\left(s\right)&=&R_1\,I_1\left(s\right)+\left(R_1+R_2\right)I_2\left(s\right)=\frac{E}{s}\\<br />i_1\left(0\right)&=&\frac{E}{2\,R_1}\\<br />\end{eqnarray}$ これを行列をベクトルで書き直すと $\begin{eqnarray}<br />{\bf F}{\bf I}&=&{\bf b}\\<br />{\bf F}&=&\begin{bmatrix}2\,R_1+s\,L_1&R_1\cr R_1&R_1+R_2\end{bmatrix}\\<br />{\bf I}&=&\begin{bmatrix}I_1\left(s\right)\cr I_2\left(s\right)\end{bmatrix}\\<br />{\bf b}&=&\begin{bmatrix}\frac{E}{s}+\frac{L_1\,E}{2\,R_1}\cr \frac{E}{s}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ これをIについて解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf I}&=&{\bf F^{-1}}{\bf F}{\bf I}={\bf F^{-1}}{\bf b}\\<br />&=&\begin{bmatrix}R+s\,L_1+R_1&R\cr R&R+R_2\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}\frac{E}{s}+\frac{L_1\,E}{2\,R_1}\cr \frac{E}{s}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{\cancel{\left(L_1\,R_2+L_1\,R_1\right)}\left( s+\frac{2\,{R}_{1}\,{R}_{2}}{L_1\,R_2+L_1\,R_1}\right) \,E}{2\,{R}_{1}\,s\,\cancel{\left(L_1\,R_2+L_1\,R_1\right)}\left( s+\frac{2\,{R}_{1}\,{R}_{2}+{R}_{1}^{2}}{L_1\,R_2+L_1\,R_1}\right) }\cr \frac{\cancel{L_1}\,\left( s+\frac{2\,{R}_{1}}{L_1}\right) \,E}{2\,s\,\left(\cancel{L_1}\,R_2+\cancel{L_1}\,R_1\right)\left(s+\frac{2\,{R}_{1}\,{R}_{2}+{R}_{1}^{2}}{L_1\,R_2+L_1\,R_1}\right) }\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{E\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}{2\,R_1\,s\,\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}\cr \frac{E\left(s+\frac{2\,R_1}{L_1}\right)}{2\,s\,\left(R_1+R_2\right)\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。あとはこれをLaplace逆変換すればよく $\begin{eqnarray}<br />{\bf i}&=&\begin{bmatrix}i_1\left(t\right)\cr i_2\left(t\right)\end{bmatrix}=\mathcal{L}^{-1}\left[\begin{bmatrix}\frac{E\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}{2\,R_1\,s\,\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}\cr \frac{E\left(s+\frac{2\,R_1}{L_1}\right)}{2\,s\,\left(R_1+R_2\right)\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}\end{bmatrix}\right]=\begin{bmatrix}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}{2\,R_1\,s\,\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}\right]\cr \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\left(s+\frac{2\,R_1}{L_1}\right)}{2\,s\,\left(R_1+R_2\right)\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}\right]\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\,\cancel{s}}{2\,R_1\,\cancel{s}\,\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}\right]+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\,\frac{\cancel{2}\,\cancel{R_1}\,R_2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}}{\cancel{2}\,\cancel{R_1}\,s\,\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}\right]\cr \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\,\cancel{s}}{2\,\cancel{s}\,\left(R_1+R_2\right)\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}\right]+\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E\,\frac{\cancel{2}\,R_1}{L_1}}{\cancel{2}\,s\,\left(R_1+R_2\right)\left(s+\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\right)}\right]\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{E}{2\,R_1}e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}}+\frac{E\,R_2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\int_{0}^{t}e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,\tau}d\tau\cr \frac{E}{2\left(R_1+R_2\right)}e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,t}+\frac{E\,R_1}{L_1\,\left(R_1+R_2\right)}\int_{0}^{t}e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,\tau}d\tau\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{E}{2\,R_1}e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}}+\frac{E\,R_2}{\cancel{L_1\left(R_1+R_2\right)}}\left[-\frac{\cancel{L_1\left(R_1+R_2\right)}}{2\,R_1\,R_2+R_1^2}e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,\tau}\right]_{0}^{t}\cr \frac{E}{2\left(R_1+R_2\right)}e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,t}+\frac{E\,R_1}{\cancel{L_1\,\left(R_1+R_2\right)}}\left[-\frac{\cancel{L_1\left(R_1+R_2\right)}}{2\,R_1\,R_2+R_1^2}e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,\tau}\right]_{0}^{t}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{E}{2\,R_1}e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}}+\frac{E\,R_2}{2\,R_1\,R_2+R_1^2}\left(1-e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,t}\right)\cr \frac{E}{2\left(R_1+R_2\right)}e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,t}+\frac{E}{2\,R_2+R_1}\left(1-e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,t}\right)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{E\,R_2}{2\,R_1\,R_2+R_1^2}+\left(\frac{E}{2\,R_1}-\frac{E\,R_2}{2\,R_1\,R_2+R_1^2}\right)e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,t}\cr \frac{E}{2\,R_1+R_2}+\left(\frac{E}{2\left(R_1+R_2\right)}-\frac{E}{2\,R_2+R_1}\right)e^{-\frac{2\,R_1\,R_2+R_1^2}{L_1\left(R_1+R_2\right)}\,t}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これに素子定数を代入すると $\begin{eqnarray}<br />{\bf i}&=&\begin{bmatrix}i_1\left(t\right)\cr i_2\left(t\right)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{60\time 5}{2\time 10\time 5+10^2}+\left(\frac{60}{2\time 10}-\frac{60\time 5}{2\time 10\time 5+10^2}\right)e^{-\frac{2\time 10\time 5+10^2}{5\left(10+5\right)}\,t}\cr \frac{60}{2\time 5+10}+\left(\frac{60}{2\left(10+5\right)}-\frac{60}{2\time 5+10}\right)e^{-\frac{2\time 10\time 5+10^2}{5\left(10+5\right)}\,t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{3}{2}\left(1+e^{-\frac{8}{3}\,t}\right)\cr 3-e^{-\frac{8}{3}\,t}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。素子数が多くなると式の係数が複雑になるが、最初から素子定数を代入するとどこでどう間違ったか追跡するのが大変なので、数値は最後に代入する主義である。もちろん最終的な解がどんな形になるかを先に見極めるためには有効な手段である。電験などのように短い時間で回答を得るような試験問題の場合にも後者が当てはまる。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
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続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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