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webadm	投稿日時: 2012-9-11 15:26
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	続：RL直列回路再びRL直列回路で今度は交流電源入力の問題 RL直列回路に次ぎの電圧を加えるときに流れる電流を求めよ。 e=Em sin(ωt+θ) というもの。以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />R\,i+L\frac{d{i}}{dt}&=&E_m\,\sin\left(\omega\,t+\theta\right)<br />\end{eqnarray}$ これをLaplace変換してI(s)について解くと $\begin{eqnarray}<br />R\,I\left(s\right)+L\left(s\,I\left(s\right)-i\left(0\right)\right)&=&\left(R+s\,L\right)\,I\left(s\right)-L\,i\left(0\right)=\mathcal{L}\left[E_m\left(\sin\theta\,\cos\omega\,t+\cos\theta\,\sin\omega\,t\right)\right]=E_m\left(\frac{s\,\sin\theta}{s^2+\omega^2}+\frac{\omega\,\cos\theta}{s^2+\omega^2}\right)\\<br />I\left(s\right)&=&\frac{E_m}{L\,\left(s+\frac{R}{L}\right)}\left(\frac{s\,\sin\theta}{s^2+\omega^2}+\frac{\omega\,\cos\theta}{s^2+\omega^2}\right)\ \ \ \ \left(i\left(0\right)=0\right)<br />\end{eqnarray}$ 従ってこれをLaplace逆変換すると $\begin{eqnarray}<br />i\left(t\right)&=&\mathcal{L}^{-1}\left[I\left(s\right)\right]=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{E_m}{L\,\left(s+\frac{R}{L}\right)}\left(\frac{s\,\sin\theta}{s^2+\omega^2}+\frac{\omega\,\cos\theta}{s^2+\omega^2}\right)\right]=\frac{E_m}{L}\int_{0}^{t}e^{-\frac{R}{L}\left(t-\tau\right)}\,\sin\left(\omega\,\tau+\theta\right)\,d\tau=\frac{E_m}{L}e^{-\frac{R}{L}\,t}\int_{0}^{t}e^{\frac{R}{L}\,\tau}\,\sin\left(\omega\,\tau+\theta\right)\,d\tau\\<br />&=&\frac{E_m}{\cancel{L}}e^{-\frac{R}{L}\,t}\frac{\cancel{L}}{\sqrt{R^2+\omega^2\,L^2}}\left(e^{\frac{R}{L}\,t}\,\sin\left(\omega\,t+\theta-\phi\right)-\sin\left(\theta-\phi\right)\right)\\<br />&=&\frac{E_m}{\sqrt{R^2+\omega^2\,L^2}}\left(\sin\left(\omega\,t+\theta-\phi\right)-e^{-\frac{R}{L}\,t}\sin\left(\theta-\phi\right)\right)\\<br />\int_{0}^{t}e^{\frac{R}{L}\,\tau}\,\sin\left(\omega\,\tau+\theta\right)\,d\tau&=&\left[-\frac{e^{\frac{R}{L}\,\tau}\,\cos\left(\omega\,\tau+\theta\right)}{\omega}\right]_{0}^{t}+\frac{R}{L\,\omega}\int_{0}^{t}e^{\frac{R}{L}\,\tau}\,\cos\left(\omega\,\tau+\theta\right)\,d\tau=\frac{\cos\theta}{\omega}-\frac{e^{\frac{R}{L}\,t}\,\cos\left(\omega\,t+\theta\right)}{\omega}+\frac{R}{L\,\omega}\left[\frac{e^{\frac{R}{L}\,\tau}\,\sin\left(\omega\,\tau+\theta\right)}{\omega}\right]_{0}^{t}-\frac{R^2}{L^2\,\omega^2}\int_{0}^{t}e^{\frac{R}{L}\,\tau}\,\sin\left(\omega\,\tau+\theta\right)\,d\tau\\<br />&=&\frac{{\omega}^{2}\,{L}^{2}}{{R}^{2}+{\omega}^{2}\,{L}^{2}}\left(\frac{1}{\omega}\left(\cos\theta-e^{\frac{R}{L}\,t}\,\cos\left(\omega\,t+\theta\right)\right)+\frac{R}{L\,\omega}\left(\frac{e^{\frac{R}{L}\,t}\,\sin\left(\omega\,t+\theta\right)}{\omega}-\frac{\sin\theta}{\omega}\right)\right)\\<br />&=&\frac{\omega\,L^2}{R^2+\omega^2\,L^2}\left(\cos\theta-e^{\frac{R}{L}\,t}\,\cos\left(\omega\,t+\theta\right)\right)+\frac{R\,L}{R^2+\omega^2\,L^2}\left(e^{\frac{R}{L}\,t}\,\sin\left(\omega\,t+\theta\right)-\sin\theta\right)\\<br />&=&\frac{\omega\,L^2}{R^2+\omega^2\,L^2}\cos\theta-\frac{R\,L}{R^2+\omega^2\,L^2}\,\sin\theta+e^{\frac{R}{L}\,t}\left(\frac{R\,L}{R^2+\omega^2\,L^2}\sin\left(\omega\,t+\theta\right)-\frac{\omega\,L^2}{R^2+\omega^2\,L^2}\,\cos\left(\omega\,t+\theta\right)\right)\\<br />&=&\frac{L}{\sqrt{R^2+\omega^2\,L^2}}\left(\sin\phi\,\cos\phi-\cos\phi\,\sin\phi+e^{\frac{R}{L}\,t}\left(\cos\phi\,\sin\left(\omega\,t+\theta\right)-\sin\phi\,\cos\left(\omega\,t+\theta\right)\right)\right)\\<br />&=&\frac{L}{\sqrt{R^2+\omega^2\,L^2}}\left(e^{\frac{R}{L}\,t}\sin\left(\omega\,t+\theta-\phi\right)-\sin\left(\theta-\phi\right)\right)\\<br />\sin\phi&=&\frac{\omega\,L}{\sqrt{R^2+\omega^2\,L^2}}\\<br />\cos\phi&=&\frac{R}{\sqrt{R^2+\omega^2\,L^2}}\\<br />\tan\phi&=&\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{\omega\,L}{R}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ちなみに著者の最初の解法による結果はsin(θ-φ)の極性が間違っているので注意。著者がその後提示している別解の方は正しい。 P.S Laplace変換の畳み込み積分の性質を利用すると見通しよく解ける。畳み込み積分は尻込みしそうだが、Laplace変換においてはtが補助変数になるので積分の外に出せ、部分積分だけ出来れば恐れることはない。

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
» 続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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