Gan's blog - フォーラム

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webadm	投稿日時: 2012-9-12 5:39
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	まだまだ：断続部のある回路次は断続部のある回路の交流版定常状態にある図のような回路のスイッチをt=0で閉じた。各回路に流れる電流i1,i2を求めよ。というもの。 t=0以降で以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />L\frac{d{i_1}}{dt}+R_1\left(i_1-i_2\right)&=&E_m\,\sin\omega\,t\\<br />R_1\left(i_1-i_2\right)-R_2\,i_2&=&0\\<br />E_m&=&50\\<br />\omega&=&100\\<br />i_1\left(0\right)&=&\left. \frac{E_m}{\sqrt{{R_1}^2+\omega^2\,L^2}}\sin\left(\omega\,t-\phi\right)\right\|_{t=0}=-\frac{E_m}{\sqrt{R_1^2+\omega^2\,L^2}}\sin\left(\phi\right)\\<br />\phi&=&\tan^{-1}\frac{\omega\,L}{R_1}<br />\end{eqnarray}$ これをLaplace変換すると $\begin{eqnarray}<br />L\left(s\,I_1\left(s\right)-i_1\left(0\right)\right)+R_1\left(I_1\left(s\right)-I_2\left(s\right)\right)&=&\left(s\,L+R_1\right)\,I_1\left(s\right)-R_1\,I_2\left(s\right)-L\,i_1\left(0\right)=E_m\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\\<br />R_1\left(I_1\left(s\right)-I_2\left(s\right)\right)-R_2\,I_2\left(s\right)&=&R_1\,I_1\left(s\right)-\left(R_1+R_2\right)\,I_2\left(s\right)=0<br />\end{eqnarray}$ これを行列とベクトルで書き直すと $\begin{eqnarray}<br />{\bf F}{\bf I}&=&{\bf b}\\<br />{\bf F}&=&\begin{bmatrix}s\,L+R_1&-R_1\cr R_1&-\left(R_1+R_2\right)\end{bmatrix}\\<br />{\bf I}&=&\begin{bmatrix}I_1\left(s\right)\cr I_2\left(s\right)\end{bmatrix}\\<br />{\bf b}&=&\begin{bmatrix}E_m\frac{\omega}{s^2+\omega^2}+L\,i_1\left(0\right)\cr 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E_m\left(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}-\frac{L}{\sqrt{R_1^2+\omega^2\,L^2}}\sin\left(\phi\right)\right)\cr 0\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ これをIについて解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf I}&=&{\bf F^{-1}}{\bf F}{\bf I}={\bf F^{-1}}{\bf b}\\<br />&=&\begin{bmatrix}s\,L+R_1&-R_1\cr R_1&-\left(R_1+R_2\right)\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}E_m\left(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}-\frac{L}{\sqrt{R_1^2+\omega^2\,L^2}}\sin\left(\phi\right)\right)\cr 0\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{\cancel{\left( {R}_{2}+{R}_{1}\right)} \,{E}_{m}\,\sin\left(\phi\right)\,\cancel{L}\,\left( \frac{\omega\,\sqrt{{\omega}^{2}\,{L}^{2}+{R}_{1}^{2}}}{\sin\left(\phi\right)\,L}-\left({s}^{2}+{\omega}^{2}\right)\right) }{\cancel{L}\,\cancel{\left(R_2+R_1\right)}\,\left( {s}^{2}+{\omega}^{2}\right) \,\left(s+\frac{{R}_{1}\,{R}_{2}}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\right) \,\sqrt{{\omega}^{2}\,{L}^{2}+{R}_{1}^{2}}}\cr \frac{{R}_{1}\,{E}_{m}\,\sin\left(\phi\right)\,\cancel{L}\,\left( \frac{\omega\,\sqrt{{\omega}^{2}\,{L}^{2}+{R}_{1}^{2}}}{\sin\left(\phi\right)\,L}-\left({s}^{2}+{\omega}^{2}\right)\right) }{\cancel{L}\,\left(R_2+R_1\right)\,\left( {s}^{2}+{\omega}^{2}\right) \,\left(s+\frac{{R}_{1}\,{R}_{2}}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\right) \,\sqrt{{\omega}^{2}\,{L}^{2}+{R}_{1}^{2}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{E_m}{L}\left(\frac{\omega}{\left(s^2+\omega^2\right)\left(s+\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\right)}-\frac{\sin\left(\phi\right)\,L}{\sqrt{{R_1}^2+\omega^2\,L^2}}\left(\frac{1}{s+\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}}\right)\right)\cr \frac{E_m\,R_1}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\left(\frac{\omega}{\left(s^2+\omega^2\right)\left(s+\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\right)}-\frac{\sin\left(\phi\right)\,L}{\sqrt{{R_1}^2+\omega^2\,L^2}}\left(\frac{1}{s+\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}}\right)\right)\end{bmatrix}\\<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これをLaplace逆変換すると $\begin{eqnarray}<br />\int_{0}^{t}\sin\left(\omega\,\tau\right)\,e^{\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\,\tau}d\tau&=&\left[-\frac{\cos\left(\omega\,\tau\right)\,e^{\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\,\tau}}{\omega}\right]_{0}^{t}+\frac{R_1\,R_2}{\omega\,L\,\left(R_2+R_1\right)}\int_{0}^{t}\cos\left(\omega\,\tau\right)\,e^{\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\,\tau}d\tau\\<br />&=&\frac{1}{\omega}\left(1-\cos\left(\omega\,t\right)\,e^{\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\,t}\right)+\frac{R_1\,R_2}{\omega\,L\,\left(R_2+R_1\right)}\left[\frac{\sin\left(\omega\,\tau\right)\,e^{\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\,\tau}}{\omega}\right]_{0}^{t}-\frac{{R_1}^2\,{R_2}^2}{\omega^2\,L^2\,\left(R_2+R_1\right)^2}\int_{0}^{t}\sin\left(\omega\,\tau\right)\,e^{\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\,\tau}d\tau\\<br />&=&\frac{\omega^2\,L^2\,\left(R_2+R_1\right)^2}{\omega^2\,L^2\,\left(R_2+R_1\right)^2+{R_1}^2\,{R_2}^2}\left(\frac{1}{\omega}\left(1-\cos\left(\omega\,t\right)\,e^{\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\,t}\right)+\frac{R_1\,R_2}{\omega^2\,L\,\left(R_2+R_1\right)}\,\sin\left(\omega\,t\right)\,e^{\frac{R_1\,R_2}{L\,\left(R_2+R_1\right)}\,t}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。あとはパラメータを代入するだけそれにしてもたった３素子の回路なのに何でこんなに複雑なんだ。ここまで来るのに何度も間違いを犯してしまった。幸いMaximaのinverse Laplace transform機能を使って得た結果（こっちも複雑だが）と比較できるから良いが。 $\begin{eqnarray}<br />{\bf i}&=&\begin{bmatrix}i_1\left(t\right)\cr i_2\left(t\right)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\left(\frac{50\time 100\time 0.02\time \left(3+1\right)^2}{100^2\time 0.02^2\time \left(3+1\right)^2+1^2\time 3^2}-\frac{50\time 0.894}{\sqrt{1^2+100^2\time 0.02^2}}\right)e^{-\frac{1\time 3}{0.02\time \left(3+1\right)}\,t}-\frac{50\time 100\time 0.02\time \left(3+1\right)^2}{100^2\time 0.02^2\time \left(3+1\right)^2+1^2\time 3^2}\cos\left(100\,t\right)+\frac{50\time \left(3+1\right)\time 1\time 3}{100^2\time 0.02^2\time \left(3+1\right)^2+1^2\time 3^2}\,\sin\left(100\,t\right)\cr \left(\frac{50\time 100\time 0.02\time \left(3+1\right)\time 1}{100^2\time 0.02^2\time \left(3+1\right)^2+{1}^2\time 3^2}-\frac{50\time 1\time 0.894}{\left(3+1\right)\sqrt{1^2+100^2\time 0.02^2}}\right)e^{-\frac{1\time 3}{0.02\time \left(3+1\right)}\,t}-\frac{50\time 100\time 0.02\time \left(3+1\right)\time 1}{100^2\time 0.02^2\time \left(3+1\right)^2+1^2\time 3^2}\cos\left(100\,t\right)+\frac{50\time 1^2\time 3}{100^2\time 0.02^2\time \left(3+1\right)^2+1^2\time 3^2}\,\sin\left(100\,t\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}1.93\,e^{-37.5\,t}-21.9\,\cos\left(100\,t\right)+8.22\,\sin\left(100\,t\right)\cr 0.482\,e^{-37.5\,t}-5.48\,\cos\left(100\,t\right)+2.05\,\sin\left(100\,t\right)\end{bmatrix}\\<br />\sin\left(\phi\right)&=&\sin\left(\tan^{-1}\left(\frac{\omega\,L}{R_1}\right)\right)=\sin\left(\tan^{-1}\left(\frac{100\time 0.0.2}{1}\right)\right)\\<br />&=&0.894<br />\end{eqnarray}$ ということになる。数値計算が間違えまくりで大変だった。これは最初に立式段階で代入しておくのが正解だ。こんなに複雑になるとはまるで予想がはずれた。ちなみに著者は有効数字というのを知らないのが、有効数字がばらばらである。有効数字が多いにこしたことはないが、一次遅れ系の応答なので誤差はそれほど影響しない。著者の解法で目を引くのは、i_1(0)を求めるのにsin(arctan(ωL/R1))ではなく、sin(arcsin(ωL/sqrt(R1^2+ω^2L^2)))を用いて面倒な三角関数を無くしている点である。これは真似したかったな。 P.S i1とi2の比はR1/(R1+R2)なので著者の様にi1だけもしくは、i2だけ先に計算して、もう片方は比率を乗じるだけというのも賢明な方法である。電験とか資格試験では短時間に数値解を得る問題が多いので、最終結果を早く見る方法が好まれる。解析は二の次なのだ。それだから電気回路理論はもうこれ以上易しくならないし、つぎはぎだらけ穴だらけの構造のままである。これを再構築するアイデアはあるが、今はその時間が惜しい。（続く）

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題名	投稿者	日時
Laplace変換とその応用演習問題	webadm	2012-8-26 2:43
単位ステップ関数およびδ関数	webadm	2012-8-26 3:02
時間のべき関数	webadm	2012-8-26 3:21
指数関数、三角関数	webadm	2012-8-26 17:46
双曲線関数	webadm	2012-8-28 5:45
推移定理	webadm	2012-8-28 6:29
続：推移定理	webadm	2012-8-29 5:07
Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 5:08
続：Laplace逆変換	webadm	2012-8-31 7:29
微分方程式	webadm	2012-9-2 3:08
続：微分方程式	webadm	2012-9-2 3:37
周期関数	webadm	2012-9-2 17:24
続：周期関数	webadm	2012-9-2 19:17
パルス波	webadm	2012-9-2 20:47
RL直列回路	webadm	2012-9-2 22:03
RC直列回路	webadm	2012-9-2 22:17
LC直列回路	webadm	2012-9-3 5:02
RLC直列回路	webadm	2012-9-4 5:29
断続部のある回路	webadm	2012-9-4 5:54
RL並列回路、初期値および最終値の定理	webadm	2012-9-5 6:16
RLC直並列回路	webadm	2012-9-7 9:21
続：LC直列回路	webadm	2012-9-9 16:31
続：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 18:47
続々：断続部のある回路	webadm	2012-9-9 21:07
RC並列回路	webadm	2012-9-9 23:33
相互誘導回路	webadm	2012-9-10 4:02
続：RL直列回路	webadm	2012-9-11 15:26
» まだまだ：断続部のある回路	webadm	2012-9-12 5:39
続：RLC直列回路	webadm	2012-9-14 5:46
続々：RL直列回路	webadm	2012-9-15 4:42
まだまだ：RL直列回路	webadm	2012-9-15 6:15
続：RC直列回路	webadm	2012-9-15 21:14

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