次は別のRLC直列回路の解析問題。めずらしくδ関数が登場する。

RLC直列回路にインパルス電圧Eδ(t)を加えたときに流れる電流をもとめよ。ただし、この回路は静止状態にあるものとする。



というもの。

δ(t)はt=0でのみ無限大をとり、それ以外では0という単位ステップ関数(U(t))の導関数のようなもの。

このインパルス入力に対する回路の応答はインパルス応答と呼ばれ回路固有の特性を表す重要な概念である。

以下の関係が成り立つ



単位ステップ関数の導関数を扱う場合には、最初の問題の時の様に、定義区間を[-0,∞]としてLaplace変換する必要がある。t=-0ではi(-0)=0でありU(-0)=0となるからである。

Laplace変換しI(s)について解くと



ということになる。

なんのことはない、ステップ電圧入力の時と比べて1/sがかかっていないだけである。

これを「意図的に0を加える」と「意図的に1を乗じる」テクニックを交えてLaplace逆変換すると



ということになる。これは過減衰のケースである。

不足減衰のケースは、上記の式の途中から



ということになる。

臨界減衰のケースは、




ということになる。

最初部分分数展開を使ったら遠回りになってしまったので、最初からやり直したら著者も同じアプローチだった...orz

Laplace変換の場合には最初の段階で変換対を意識して式を変形していくところでだいたいの結果が見えてくるので、誰がやっても同じように見えるのは致し方がない。そう言う意味ではシステマティックな方法である。