次は再び近似の問題。

波長に比べ十分に短い長さlの線路の導電端電圧ES,電流ISと受電端電圧ER,電流IRの関係はどのように近似できるか。



というもの。

線路長が波長よりも十分短いとそうでない場合とで何が違うのだろうか？

いやまさに問題文はそれを命題として定式化を求めているわけである。

ストラテジーがすぐに思いつかないが、有限長なので二端子対回路として見れば以下の関係が成り立つのは明らかである



ここで線路長lと波長λの比をεとして書き直してみると



ということになる。

εをl/λに戻すと



これでも十分であるが



を代入すると



少し簡単になった。

更に線路全体の直列インピーダンス、並列アドミッタンス



で置き換えると



ということになる。

波長より十分線路長が短くても、送電端から供給する電圧と電流に線路全体の直列インピーダンスと並列アドミッタンスの積に比例した天使の取り分を増しておかないと受電端に意図した電圧と電流が流すことができないということになる。

ほとんど著者と同じアプローチになってしまったが、著者は双曲線関数の近似式の導出方法については触れていない。普通に公式集にも双曲線関数の級数展開式など載っていないから、指数関数表記に戻して、指数関数を級数展開して有る程度高次項は無視するということで導くことができる。この場合、指数関数展開の３次の項まで含めないと著者の解よりちょっと近似があまい式になってしまうことに途中で気づいた。

他にも別な近似式の導出方法がないかどうか検討するのは読者の課題としよう( ´∀`)

P.S

近似問題の元ネタをドイツの理論電気学の教科書にいくつか見いだすことができる。議論している問題は異なるが、双曲線関数を級数展開で近似しているのは一緒である。

こちらは３次以上の項を無視している。近似式が恒等式として記載されているのは厳密には正しくないが、他にの近似式が恒等式として記載されているのを見ると、ドイツ人は意外におおざっぱなのかも。



別の例題では３次の項まで考慮している。不鮮明だが上の方に線路全体のキャパシタンスと漏洩コンダクタンスの関係式が出ている。



いずれも隣接するページで送電線の実際のパラメータを使用して試算している記述もあり、ドイツでは数式だけでなく現場でのたたき上げも重要視している感じがする。

P.S

その後今年本屋で見つけて良い本だったので購入してあった「回路網理論」電気学会　オーム社にまったく同一の例題が解説されているのに気づいた。別の近似の問題も例題として丁寧に解説されている。ただし著者の解とは違っていて、こちらで導いた結果と一緒。

他書では割愛される事が多い分布定数回路に関してほとんど基本敵なところは網羅して書かれている。さすがにスミス図表については言葉しか出てこないが、これは近年マイクロ波工学で扱うべきものということで電気とは分離されたためだろう。大学の専門カリキュラムでは分布定数回路に関してはいくつもの教科でだぶってしまっていることもあり、どれも中途半端という感が否めない。ドイツの理論電気学の本もどこか中途半端で、どちらかというと送電工学に必要な範囲にとどめている感じがする。その点では先の「回路網理論」はページ数が少ないのにしっかりまとまっている。お勧めである。