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webadm	投稿日時: 2012-10-16 4:55
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	1/4波長より短い無損失線路 1/4波長の整数倍の無損失線路については線路の共振の理論で学んだが、それ以外の線路長の場合についての問題周波数が一定なるとき、1/4波長よりも短い無損失線路の受電端を短絡または開放したものはそれぞれ誘導リアクタンス、容量リアクタンスと等価であることを示し、かつ等価インダクタンスL0,等価キャパシタンスC0を特性インピーダンスZ0と位相定数βで表せ。というもの。すでに理論のところでやってしまっているが、もう一度初めからやってみよう。思いつくストラテジーとしては (1) 受電端が開放のときと短絡の時の送電端から見た駆動点インピーダンスを導く (2) それが受電端開放のときに誘導性となり短絡の時に容量性となるかどうか調べるという順序である。受電端が開放の時の送電端から見た駆動点インピーダンスは、二端子対回路とみなして、受電端の条件を与えれば $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}E_S\cr I_S\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\cosh\gamma\,l&Z_0\,\sinh\gamma\,l\cr \frac{1}{Z_0}\sinh\gamma\,l&\cosh\gamma\,l\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_R\cr 0\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E_R\,\cosh\gamma\,l\cr \frac{E_R}{Z_0}\sinh\gamma\,l\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ 従って受電端を開放した時の送電端の開放駆動点インピーダンスは $\begin{eqnarray}<br />Z_o&=&\frac{E_S}{I_S}=\frac{E_R\,\cosh\gamma\,l}{\frac{E_R}{Z_O}\sinh\gamma\,l}\\<br />&=&Z_0\,\tanh\gamma\,l<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これではなんのことやらさっぱりわからないので、題意の1/4波長より短い無損失線路のZ0,γは $\begin{eqnarray}<br />Z_0&=&\sqrt{\frac{Z}{Y}}=\sqrt{\frac{R+j\,\omega\,L}{G+j\,\omega\,C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}\ \ \ \ \left(R=G=0\right)\\<br />\gamma&=&\alpha+j\,\beta=\sqrt{Z\,Y}=\sqrt{\left(R+j\,\omega\,L\right)\left(G+j\,\omega\,C\right)}=\sqrt{-\omega^2\,L\,C}=j\,\omega\,\sqrt{L\,C}\ \ \ \ \left(R=G=0\right)<br />\end{eqnarray}$ を代入すると $\begin{eqnarray}<br />Z_o&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\tanh\left(j\,\omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)\\<br />&=&j\,\sqrt{\frac{L}{C}}\tan\left(\omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。以下が成り立つ場合Zoは誘導性リアクタンスを持つことになる $\begin{eqnarray}<br />I_m\left(Z_o\right)&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\tan\left(\omega\,\sqrt{L\,C}l\right)\gt 0\ \ \ \ \left(0\lt \omega\,\sqrt{L\,C}\,l\lt \frac{\pi}{2}\right)<br />\end{eqnarray}$ 問題はlが1/4波長より短い場合に上記が成り立つかという点である。ここで波長の定義を思い出すと $\begin{eqnarray}<br />\lambda&=&\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{\omega\,\sqrt{L\,C}}\\<br />\omega&=&\frac{2\,\pi}{\lambda\,\sqrt{L\,C}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを代入すると $\begin{eqnarray}<br />I_m\left(Z_o\right)&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\tan\left(\frac{2\,\pi}{\lambda\,\cancel{\sqrt{L\,C}}}\cancel{\sqrt{L\,C}}\,l\right)\\<br />&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\tan\left(2\,\pi\,\frac{l}{\lambda}\right)\gt 0\ \ \ \ \left(0\lt 2\,\pi\frac{l}{\lambda}\lt \frac{\pi}{2}\right)\\<br />&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\tan\left(2\,\pi\frac{l}{\lambda}\right)\gt 0\ \ \ \ \left(0\lt \frac{l}{\lambda}\lt \frac{1}{4}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従ってlが1/4波長より短い開放端の線路は誘導性リアクタンスL0と等価になる $\begin{eqnarray}<br />Z_o&=&j\,\omega\,L_0=j\,\omega\,\frac{\sqrt{\frac{L}{C}}\,\tan\left(2\,\pi\frac{l}{\lambda}\right)}{\omega}\ \ \ \ \left(0\lt \frac{l}{\lambda}\lt \frac{1}{4}\right)\\<br />L_0&=&\frac{\sqrt{\frac{L}{C}}\,\tan\left(2\,\pi\frac{l}{\lambda}\right)}{\omega}\\<br />&=&\frac{Z_0\,\tan\beta\,l}{\omega}<br />\end{eqnarray}$ 同様に受電端が短絡の時の送電端から見た短絡駆動点インピーダンスは、 $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}E_S\cr I_S\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\cosh\gamma\,l&Z_0\,\sinh\gamma\,l\cr \frac{1}{Z_0}\sinh\gamma\,l&\cosh\gamma\,l\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\cr I_R\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}I_R\,Z_0\,\sinh\gamma\,l\cr I_R\,\cosh\gamma\,l\end{bmatrix}\\<br />Z_c&=&\frac{E_S}{I_S}=\frac{\cancel{I_R}\,Z_0\,\sinh\gamma\,l}{\cancel{I_R}\,\cosh\gamma\,l}\\<br />&=&Z_0\,\coth\gamma\,l<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これも同様に無損失線路のZ0,γを代入すると $\begin{eqnarray}<br />Z_c&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\,\coth\left(j\,\omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)\\<br />&=&-j\,\sqrt{\frac{L}{C}}\cot\left(\omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。あとはlが1/4波長より短い場合 $\begin{eqnarray}<br />I_m\left(Z_c\right)&=&-\,\frac{1}{\sqrt{\frac{C}{L}}\,\tan\left(\omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)}\lt 0\ \ \ \ \left(0\lt \omega\,\sqrt{L\,C}\,l\lt \frac{2\,\pi}{2}\right)<br />\end{eqnarray}$ を満足するかどうかである。これも同様に $\begin{eqnarray}<br />I_m\left(Z_c\right)&=&-\frac{1}{\sqrt{\frac{C}{L}}\,\tan\left(2\,\pi\frac{l}{\lambda}\right)}\lt 0\ \ \ \ \left(0\lt \frac{l}{\lambda}\lt \frac{1}{4}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って1/4波長より短い短絡端の無損失線路は容量性リアクタンスC0と等価になる $\begin{eqnarray}<br />Z_c&=&-j\,\frac{1}{\omega\,C_0}=-j\,\frac{\omega}{\omega\,\sqrt{\frac{C}{L}}\,\tan\left(2\,\pi\frac{l}{\lambda}\right)}\ \ \ \ \left(0\lt \frac{l}{\lambda}\lt \frac{1}{4}\right)\\<br />C_0&=&\frac{\tan\beta\,l}{\omega\,Z_0}<br />\end{eqnarray}$ 見通しをたてても伏兵が潜んでいるのが普通である。その場合でも手を動かせば自ずと道が見えてくる。

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題名	投稿者	日時
分布定数回路の定常現象演習問題	webadm	2012-9-30 23:21
波長と位相定数	webadm	2012-9-30 23:34
直列インピーダンス、並列アドミッタンス、特性インピーダンス、伝搬定数	webadm	2012-10-1 0:36
減衰定数、位相定数の近似式	webadm	2012-10-1 7:06
一様分布定数回路	webadm	2012-10-7 6:19
低損失線路	webadm	2012-10-9 2:16
基礎方程式：受電端電圧ER、電流IRを与えた場合	webadm	2012-10-10 6:05
基礎方程式：受電端負荷ZR,送電端電流IRを与えた場合	webadm	2012-10-10 6:34
特性インピーダンス	webadm	2012-10-13 9:18
続：特性インピーダンス	webadm	2012-10-13 18:08
続：波長と位相定数	webadm	2012-10-13 23:50
続々：特性インピーダンス	webadm	2012-10-14 0:39
基礎方程式：無限長線路で送電端に直流電圧,電流を与えた場合	webadm	2012-10-14 2:05
基礎方程式：有限長線路で受電端を開放し送電端に直流電圧、電流を加えた場合	webadm	2012-10-14 2:15
線路長が波長より十分短い場合の送電端と受電端の電圧、電流の近似	webadm	2012-10-14 22:26
» 1/4波長より短い無損失線路	webadm	2012-10-16 4:55
漏洩線路	webadm	2012-10-17 5:55
まだまだ：特性インピーダンス	webadm	2012-10-24 8:35
RC線路	webadm	2012-10-25 6:19
インピーダンス整合	webadm	2012-10-25 7:19
Ferranti効果	webadm	2012-10-27 5:48
四端子定数	webadm	2012-11-2 7:17
等価回路	webadm	2012-11-2 8:50
影像インピーダンス、伝達定数	webadm	2012-11-3 8:48
線路定数の異なる２つの分布定数回路の接続	webadm	2012-11-4 1:46
位置角	webadm	2012-11-4 2:28
続：位置角	webadm	2012-11-4 3:34
続々：位置角	webadm	2012-11-4 4:39
反射係数、透過係数	webadm	2012-11-4 5:07
反射係数	webadm	2012-11-10 19:36
定在波比	webadm	2012-11-12 8:21
続：反射係数、透過係数	webadm	2012-11-13 8:00
電圧反射係数、電流反射係数、定在波比	webadm	2012-11-19 0:12
電圧定在波比	webadm	2012-11-19 5:37
続：電圧定在波比	webadm	2012-11-20 10:00
続々：電圧定在波比	webadm	2012-11-23 18:49
まだまだ：電圧定在波比	webadm	2012-11-24 4:54
反射係数とインピーダンスの関係	webadm	2012-11-24 7:43
インピーダンス整合	webadm	2012-11-24 20:19
続：インピーダンス整合	webadm	2012-11-24 22:51
続々：インピーダンス整合	webadm	2012-11-25 18:35
まだまだ：インピーダンス整合	webadm	2012-11-25 21:12
線路の共振、半共振	webadm	2012-11-25 22:21
もうひとつの：インピーダンス整合	webadm	2012-11-26 4:18
分布定数回路の設計	webadm	2012-12-4 7:58
またまた：インピーダンス整合	webadm	2012-12-7 5:33
スミス図表	webadm	2012-12-8 20:09
続：スミス図表	webadm	2012-12-8 20:52
続々：スミス図表	webadm	2012-12-8 21:34
まだまだ：スミス図表	webadm	2012-12-9 1:11

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