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webadm	投稿日時: 2012-10-25 7:19
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3110	インピーダンス整合次は線路のインピーダンス整合に関する問題単位長さ当たりのインダクタンスL,キャパシタンスCの無損失線路を抵抗RLで終端した。送電端インピーダンスが純抵抗となるにはどのような条件が必要か。ただし電源の角周波数をωとする。というもの。線路を二端子対回路として考えると以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}E_S\cr I_S\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\cosh\gamma\,l&Z_0\,\sinh\gamma\,l\cr \frac{1}{Z_0}\sinh\gamma\,l&\cosh\gamma\,l\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_R\,R_L\cr I_R\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}I_R\left(R_L\,\cosh\gamma\,l+Z_0\,\sinh\gamma\,l\right)\cr I_R\left(\frac{R_L}{Z_0}\sinh\gamma\,l+\cosh\gamma\,l\right)\end{bmatrix}\\<br />Z_S&=&\frac{E_S}{I_S}=\frac{\cancel{I_R}\left(R_L\,\cosh\gamma\,l+Z_0\,\sinh\gamma\,l\right)}{\cancel{I_R}\left(\frac{R_L}{Z_0}\sinh\gamma\,l+\cosh\gamma\,l\right)}=Z_0\frac{R_L\,\cosh\gamma\,l+Z_0\,\sinh\gamma\,l}{R_L\,\sinh\gamma\,l+Z_0\,\cosh\gamma\,l}\\<br />&=&Z_0\frac{R_L+Z_0\,\tanh\gamma\,l}{Z_0+R_L\,\tanh\gamma\,l}<br />\end{eqnarray}$ ここで無損失線路の場合R=G=0として無視できるので $\begin{eqnarray}<br />\gamma&=&\sqrt{\left(R+j\.\omega\,L\right)\left(G+j\,\omega\,C\right)}\\<br />&=&j\,\omega\,\sqrt{L\,C}\ \ \ \ \left(R=G=0\right)\\<br />Z_0&=&\sqrt{\frac{R+j\,\omega\,L}{G+j\,\omega\,C}}\\<br />&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\ \ \ \ \left(R=G=0\right)<br />\end{eqnarray}$ これを代入すると $\begin{eqnarray}<br />Z_S&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\frac{R_L+\sqrt{\frac{L}{C}}\tanh\,j\,\omega\,\sqrt{L\,C}\,l}{\sqrt{\frac{L}{C}}+R_L\,\tanh\,j\,\omega\,\sqrt{L\,C}\,l}\\<br />&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\frac{R_L+j\,\sqrt{\frac{L}{C}}\tan\,\omega\,\sqrt{L\,C}\,l}{\sqrt{\frac{L}{C}}+j\,R_L\,\tan\,\omega\,\sqrt{L\,C}\,l}\\<br />&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\frac{\left(R_L+j\,\sqrt{\frac{L}{C}}\tan\,\omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)\left(\sqrt{\frac{L}{C}}-j\,R_L\,\tan\,\omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)}{\left(\sqrt{\frac{L}{C}}+j\,R_L\,\tan\,\omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)\left(\sqrt{\frac{L}{C}}-j\,R_L\,\tan\,\omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)}\\<br />&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\frac{R_L\,\sqrt{\frac{L}{C}}\left(1+\tan^{2}\omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)-j\,\left({R_L}^2-\frac{L}{C}\right)\,\tan\omega\,\sqrt{L\,C}\,l}{\frac{L}{C}+{R_L}^2\,\tan^{2}\omega\,\sqrt{L\,C}\,l}\\<br />&=&\sqrt{\frac{L}{C}}\frac{R_L\,\sqrt{\frac{L}{C}}\left(\frac{1}{\tan^{2}\omega\,\sqrt{L\,C}\,l}+1\right)-j\,\left({R_L}^2-\frac{L}{C}\right)\,\fra{1}{\tan\omega\,\sqrt{L\,C}\,l}}{\frac{\frac{L}{C}}{\tan^{2}\omega\,\sqrt{L\,C}\,l}+{R_L}^2}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って、Zsが純抵抗になるためには、上の式で虚数部が0とならねばならないことから $\begin{eqnarray}<br />{R_L}^2-\frac{L}{C}&=&0\\<br />R_L&=&\sqrt{\frac{L}{C}}<br />\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}<br />\tan\omega\,\sqrt{L\,C}\,l&=&0<br />\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}<br />\tan\omega\,\sqrt{L\,C}\,l&=&\pm\infty<br />\end{eqnarray}$ のいずれかが条件となる。第一の条件は $\begin{eqnarray}<br />R_L&=&Z_0<br />\end{eqnarray}$ 受電端を特性インピーダンスで終端することを意味する。このときの受電端から見たインピーダンスは $\begin{eqnarray}<br />Z_S&=&\frac{{Z_0}^2}{R_L}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。第二の条件は $\begin{eqnarray}<br />\tan^{-1}0&=&\omega\,\sqrt{L\,C}\,l=n\,\pi\ \ \ \ \left(n=0,1,2,\cdots\right)\\<br />l&=&\frac{n\,\pi}{\omega\,sqrt{L\,C}}\\<br />&=&\frac{n\,\lambda}{2}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\cdots\right)<br />\lambda&=&\frac{2\,\pi}{\beta}=\frac{2\,\pi}{\omega\,\sqrt{L\,C}}<br />\end{eqnarray}$ 線路長がλ/2の整数倍であることを意味する。この場合、送電端から見たインピーダンスZsは $\begin{eqnarray}<br />Z_S&=&R_L<br />\end{eqnarray}$ ということになる。最後の条件は、 $\begin{eqnarray}<br />\tan^{-1}\pm\infty&=&\omega\,\sqrt{L\,C}\,l=\frac{\pi}{2}\left(1+2\,n\right)\ \ \ \ \left(n=0,1,2,\cdots\right)\\<br />l&=&\frac{\left(1+2\,n\right)\,\pi}{2\,\omega\,sqrt{L\,C}}\\<br />&=&\left(1+2\,n\right)\frac{\lambda}{4}\ \ \ \ \left(n=0,1,2,\cdots\right)<br />\lambda&=&\frac{2\,\pi}{\beta}=\frac{2\,\pi}{\omega\,\sqrt{L\,C}}<br />\end{eqnarray}$ 線路長がλ/4の奇数倍であることを意味する。この場合、送電端から見たインピーダンスは $\begin{eqnarray}<br />Z_S&=&\frac{{Z_0}^2}{R_L}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。著者の解ではlと波長との関係やZsの値についてまでは言及していない。特に題意で求められていないからだが、全ての場合でインピーダンスが同じ値になるわけではないことがわかる。特に最後の条件ではZsが負荷インピーダンスに反比例することがわかる。インピーダンス変換器（負荷が誘導性インピーダンスならZsは容量性インピーダンスに、逆も真なり）になることがわかる。ただしλ/4の奇数倍の線路長を必要とする点に注意。線路長と波長との関係が重要である。こうした線路を用いることによって高周波回路やアンテナ回路でインピーダンス整合を取ることがよく行われる。 P.S 著者の解を見るまでは第三の条件があるのを見落としていたのは内緒だ。

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題名	投稿者	日時
分布定数回路の定常現象演習問題	webadm	2012-9-30 23:21
波長と位相定数	webadm	2012-9-30 23:34
直列インピーダンス、並列アドミッタンス、特性インピーダンス、伝搬定数	webadm	2012-10-1 0:36
減衰定数、位相定数の近似式	webadm	2012-10-1 7:06
一様分布定数回路	webadm	2012-10-7 6:19
低損失線路	webadm	2012-10-9 2:16
基礎方程式：受電端電圧ER、電流IRを与えた場合	webadm	2012-10-10 6:05
基礎方程式：受電端負荷ZR,送電端電流IRを与えた場合	webadm	2012-10-10 6:34
特性インピーダンス	webadm	2012-10-13 9:18
続：特性インピーダンス	webadm	2012-10-13 18:08
続：波長と位相定数	webadm	2012-10-13 23:50
続々：特性インピーダンス	webadm	2012-10-14 0:39
基礎方程式：無限長線路で送電端に直流電圧,電流を与えた場合	webadm	2012-10-14 2:05
基礎方程式：有限長線路で受電端を開放し送電端に直流電圧、電流を加えた場合	webadm	2012-10-14 2:15
線路長が波長より十分短い場合の送電端と受電端の電圧、電流の近似	webadm	2012-10-14 22:26
1/4波長より短い無損失線路	webadm	2012-10-16 4:55
漏洩線路	webadm	2012-10-17 5:55
まだまだ：特性インピーダンス	webadm	2012-10-24 8:35
RC線路	webadm	2012-10-25 6:19
» インピーダンス整合	webadm	2012-10-25 7:19
Ferranti効果	webadm	2012-10-27 5:48
四端子定数	webadm	2012-11-2 7:17
等価回路	webadm	2012-11-2 8:50
影像インピーダンス、伝達定数	webadm	2012-11-3 8:48
線路定数の異なる２つの分布定数回路の接続	webadm	2012-11-4 1:46
位置角	webadm	2012-11-4 2:28
続：位置角	webadm	2012-11-4 3:34
続々：位置角	webadm	2012-11-4 4:39
反射係数、透過係数	webadm	2012-11-4 5:07
反射係数	webadm	2012-11-10 19:36
定在波比	webadm	2012-11-12 8:21
続：反射係数、透過係数	webadm	2012-11-13 8:00
電圧反射係数、電流反射係数、定在波比	webadm	2012-11-19 0:12
電圧定在波比	webadm	2012-11-19 5:37
続：電圧定在波比	webadm	2012-11-20 10:00
続々：電圧定在波比	webadm	2012-11-23 18:49
まだまだ：電圧定在波比	webadm	2012-11-24 4:54
反射係数とインピーダンスの関係	webadm	2012-11-24 7:43
インピーダンス整合	webadm	2012-11-24 20:19
続：インピーダンス整合	webadm	2012-11-24 22:51
続々：インピーダンス整合	webadm	2012-11-25 18:35
まだまだ：インピーダンス整合	webadm	2012-11-25 21:12
線路の共振、半共振	webadm	2012-11-25 22:21
もうひとつの：インピーダンス整合	webadm	2012-11-26 4:18
分布定数回路の設計	webadm	2012-12-4 7:58
またまた：インピーダンス整合	webadm	2012-12-7 5:33
スミス図表	webadm	2012-12-8 20:09
続：スミス図表	webadm	2012-12-8 20:52
続々：スミス図表	webadm	2012-12-8 21:34
まだまだ：スミス図表	webadm	2012-12-9 1:11

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