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webadm	投稿日時: 2012-10-27 5:48
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3110	Ferranti効果次はFerranti効果に関する問題長距離送電線において、受電端を開放するとその点の電圧が送電端のそれよりも高くなることがあり、これをFerranti効果という。いま周波数f=60[Hz]の波が光速で伝搬するとき、送電線より5[%]電圧が高くなるのはこの電線の長さlがいくらのときか、ただし送電線は無損失であるとする。というもの。ストラテジーとしては (1) 送電端と受電端の電圧の関係式を導く (2) 受電端の電圧/送電端の電圧が1.05になる条件を見いだすがすぐに思いつく。まずは一般的な線路について導出して、それを題意の無損失線路のケースに特殊化する線路を二端子対回路とみなせば受電端の条件より以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}E_S\cr I_S\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\cosh\gamma\,l&Z_0\,\sinh\gamma\,l\cr \frac{1}{Z_0}\sinh\gamma\,l&\cosh\gamma\,l\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_R\cr 0\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E_R\,\cosh\gamma\,l\cr \frac{E_R}{Z_0}\sinh\gamma\,l\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ 従って、送電端の電圧ESと受電端の電圧ERの比は $\begin{eqnarray}<br />\frac{E_R}{E_S}&=&\frac{1}{\cosh\gamma\,l}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ついでに $\begin{eqnarray}<br />\frac{\left\|E_R\right\|}{\left\|E_S\right\|}&=&\frac{2\,{e}^{\alpha\,l}}{\sqrt{\left( {e}^{2\,\alpha\,l}-1\right)^2 \,{\sin\left( \beta\,l\right) }^{2}+\left( {e}^{2\,\alpha\,l}+1\right)^2 \,{\cos\left( \beta\,l\right) }^{2}}}\\<br />&=&1.05<br />\end{eqnarray}$ と絶対値の比の条件にしてしまおう。ここで無損失線路の場合 $\begin{eqnarray}<br />\gamma&=&\alpha+j\,\beta=\sqrt{\left(R+j\,\omega\,L\right)\left(G+j\,\omega\,C\right)}=j\,\omega\,\sqrt{L\,C}\ \ \ \ \left(R=G=0\right)<br />&=&j\,\beta\\<br />\alpha&=&0\\<br />\beta&=&\omega\,\sqrt{L\,C}<br />\end{eqnarray}$ であるからして,これを代入すると $\begin{eqnarray}<br />\frac{\left\|E_R\right\|}{\left\|E_S\right\|}&=&\frac{1}{\cos\left( \omega\,\sqrt{L\,C}\,l\right)}\\<br />&=&1.05<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って受電端の電圧が送電端の電圧より5[%]高くなるlの条件は $\begin{eqnarray}<br />\cos\omega\,\sqrt{L\,C}\,l&=&\frac{1}{1.05}\\<br />l&=&\frac{1}{\omega\,\sqrt{L\,C}}\cos^{-1}\frac{1}{1.05}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。だがしかしそこには伏兵がいた（；´Д｀）題意ではL,Cが与えられていないのである。どうすんだこれ（；´Д｀）慌てずに考えよう頓知を出すのだ。上の式は位相定数βを使って書き直すことができる $\begin{eqnarray}<br />l&=&\frac{1}{\beta}\cos^{-1}\frac{1}{1.05}<br />\end{eqnarray}$ 位相定数βと波長の関係式を思い出そう $\begin{eqnarray}<br />\lambda&=&\frac{v}{f}\\<br />&=&\frac{2\,\pi}{\beta}\\<br />\beta&=&\frac{\omega}{v}=\frac{2\,\pi\,f}{v}<br />\end{eqnarray}$ これを代入すると $\begin{eqnarray}<br />l&=&\frac{v}{2\,\pi\,f}\cos^{-1}\frac{1}{1.05}=\frac{3\time 10^5}{2\,\pi\,\time 60}\cos^{-1}\frac{1}{1.05}\\<br />&=&247\ [km]<br />v&=&3\time 10^5\ [km/s]<br />f&=&60\ [Hz]<br />\end{eqnarray}$ ということになる。波長と位相定数の関係式から以下の式も導かれるので、それを用いてもよい。 $\begin{eqnarray}<br />v&=&\frac{1}{\sqrt{L\,C}}<br />\end{eqnarray}$ 波の伝搬速度が光速という時点でLとCは真空の透磁率と誘電率となるので、そこから導くこともできるが、それはちょっと邪道くさい。まだ電磁気学を学んでいないならなおさら。やはりここは波長と位相定数の関係式を思い出すのが正当だろう。真空中の電磁波の伝搬速度についても常識として記憶しておく必要がありそうである。関係式を暗記するのには波長や速度、位相定数などの単位を合わせて記憶しておくと辻褄があるかどうか自己チェックできる。一九世紀の電磁気学理論はそうした単位系と理論式の辻褄合わせの世界である。 P.S 途中の電圧比の絶対値の式の導出過程は面倒なので省略したが、それを確かめるのは読者の課題としよう( ´∀`)

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題名	投稿者	日時
分布定数回路の定常現象演習問題	webadm	2012-9-30 23:21
波長と位相定数	webadm	2012-9-30 23:34
直列インピーダンス、並列アドミッタンス、特性インピーダンス、伝搬定数	webadm	2012-10-1 0:36
減衰定数、位相定数の近似式	webadm	2012-10-1 7:06
一様分布定数回路	webadm	2012-10-7 6:19
低損失線路	webadm	2012-10-9 2:16
基礎方程式：受電端電圧ER、電流IRを与えた場合	webadm	2012-10-10 6:05
基礎方程式：受電端負荷ZR,送電端電流IRを与えた場合	webadm	2012-10-10 6:34
特性インピーダンス	webadm	2012-10-13 9:18
続：特性インピーダンス	webadm	2012-10-13 18:08
続：波長と位相定数	webadm	2012-10-13 23:50
続々：特性インピーダンス	webadm	2012-10-14 0:39
基礎方程式：無限長線路で送電端に直流電圧,電流を与えた場合	webadm	2012-10-14 2:05
基礎方程式：有限長線路で受電端を開放し送電端に直流電圧、電流を加えた場合	webadm	2012-10-14 2:15
線路長が波長より十分短い場合の送電端と受電端の電圧、電流の近似	webadm	2012-10-14 22:26
1/4波長より短い無損失線路	webadm	2012-10-16 4:55
漏洩線路	webadm	2012-10-17 5:55
まだまだ：特性インピーダンス	webadm	2012-10-24 8:35
RC線路	webadm	2012-10-25 6:19
インピーダンス整合	webadm	2012-10-25 7:19
» Ferranti効果	webadm	2012-10-27 5:48
四端子定数	webadm	2012-11-2 7:17
等価回路	webadm	2012-11-2 8:50
影像インピーダンス、伝達定数	webadm	2012-11-3 8:48
線路定数の異なる２つの分布定数回路の接続	webadm	2012-11-4 1:46
位置角	webadm	2012-11-4 2:28
続：位置角	webadm	2012-11-4 3:34
続々：位置角	webadm	2012-11-4 4:39
反射係数、透過係数	webadm	2012-11-4 5:07
反射係数	webadm	2012-11-10 19:36
定在波比	webadm	2012-11-12 8:21
続：反射係数、透過係数	webadm	2012-11-13 8:00
電圧反射係数、電流反射係数、定在波比	webadm	2012-11-19 0:12
電圧定在波比	webadm	2012-11-19 5:37
続：電圧定在波比	webadm	2012-11-20 10:00
続々：電圧定在波比	webadm	2012-11-23 18:49
まだまだ：電圧定在波比	webadm	2012-11-24 4:54
反射係数とインピーダンスの関係	webadm	2012-11-24 7:43
インピーダンス整合	webadm	2012-11-24 20:19
続：インピーダンス整合	webadm	2012-11-24 22:51
続々：インピーダンス整合	webadm	2012-11-25 18:35
まだまだ：インピーダンス整合	webadm	2012-11-25 21:12
線路の共振、半共振	webadm	2012-11-25 22:21
もうひとつの：インピーダンス整合	webadm	2012-11-26 4:18
分布定数回路の設計	webadm	2012-12-4 7:58
またまた：インピーダンス整合	webadm	2012-12-7 5:33
スミス図表	webadm	2012-12-8 20:09
続：スミス図表	webadm	2012-12-8 20:52
続々：スミス図表	webadm	2012-12-8 21:34
まだまだ：スミス図表	webadm	2012-12-9 1:11

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