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webadm	投稿日時: 2012-11-2 8:50
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	等価回路次は分布定数回路の等価回路に関する問題特性インピーダンスZ0、伝搬定数γ、長さlの一様な線路のT形、π形および格子形等価回路を求めよ。というもの。有限長の分布定数回路が四端子定数と同じ四端子定数を持つT形、π形および格子形等価回路の素子定数を導けば良いことになる。二端子対回路の演習問題でT形、π形および格子形回路の四端子定数を導いた記憶があるが、詳細は定かではない。つまり忘れてしまったということである。なのでそれを思い出すことから始めねばならない。 T形とπ形は３つの二端子対回路を縦続接続させたものとして考えれば簡単に導くことができる。 $\begin{eqnarray}<br />{\bf F_T}&=&\begin{bmatrix}1&Z_1\cr 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0\cr \frac{1}{Z_2}& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&Z_3\cr 0&1\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{{Z}_{2t}+{Z}_{1T}}{{Z}_{2t}} & \frac{{Z}_{2t}\,{Z}_{3}+{Z}_{1t}\,{Z}_{3t}+{Z}_{1t}\,{Z}_{2t}}{{Z}_{2t}}\cr \frac{1}{{Z}_{2t}} & \frac{{Z}_{3t}+{Z}_{2t}}{{Z}_{2t}}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ 分布定数回路は対称回路なので、T形回路ではZ1t=Z3tとなり $\begin{eqnarray}<br />{\bf F_T}&=&\begin{bmatrix}\frac{{Z}_{2t}+{Z}_{1t}}{{Z}_{2t}} & 2\,Z_{1t}+\frac{{Z_{1t}}^2}{Z_{2t}}\cr \frac{1}{{Z}_{2t}} & \frac{{Z}_{2t}+{Z}_{1t}}{{Z}_{2t}}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。同様にπ形回路は $\begin{eqnarray}<br />{\bf F_{\pi}}&=&\begin{bmatrix}1&0\cr \frac{1}{Z_{1\pi}} & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&Z_{2\pi}\cr 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\cr \frac{1}{Z_{3\pi}}&1\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{{Z}_{3\pi}+{Z}_{2\pi}}{{Z}_{3\pi}} & {Z}_{2\pi}\cr \frac{{Z}_{3\pi}+{Z}_{2\pi}+{Z}_{1\pi}}{{Z}_{1\pi}\,{Z}_{3\pi}} & \frac{{Z}_{2\pi}+{Z}_{1\pi}}{{Z}_{1\pi}}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これも同様に対称回路であるためにはZ1π=Z3πとなり $\begin{eqnarray}<br />{\bf F_{\pi}}&=&\begin{bmatrix}\frac{{Z}_{1\pi}+{Z}_{2\pi}}{{Z}_{1\pi}} & {Z}_{2\pi}\cr \frac{2\pi}{Z_{1\pi}}+\frac{Z_{2\pi}}{{{Z}_{1\pi}}^2} & \frac{{Z}_{1\pi}+{Z}_{2\pi}}{{Z}_{1\pi}}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。さて格子形回路の四端子定数はどうだっただろう。かなり苦労した覚えがある。出力端を開放および短絡した場合のそれぞれの駆動点インピーダンスZo,Zsと四端子定数の関係を思い出そう $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}E_S\cr I_S\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}A&B\cr C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_R\cr 0\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}A\,E_R\cr C\,E_R\end{bmatrix}\\<br />Z_o&=&\frac{E_S}{I_S}=\frac{A\,\cancel{E_R}}{B\,\cancel{E_R}}\\<br />&=&\frac{A}{C}<br />\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}E_S\cr I_S\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}A&B\cr C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\cr I_R\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}C\,I_R\cr D\,I_R\end{bmatrix}\\<br />Z_s&=&\frac{E_R}{I_R}=\frac{B\,\cancel{I_R}}{D\,\cancel{I_R}}\\<br />&=&\frac{B}{D}<br />\end{eqnarray}$ 負荷に特性インピーダンスZ0を接続した場合、駆動点インピーダンスも特性インピーダンスと等しくなることから $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}E_S\cr I_S\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}A&B\cr C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Z_0\,I_R\cr I_R\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}I_R\,\left(A\,Z_0+B\right)\cr I_R\left(C\,Z_0+D\right)\end{bmatrix}\\<br />Z_0&=&\frac{\cancel{I_R}\left(A\,Z_0+B\right)}{\cancel{I_R}\left(C\,Z_0+D\right)}\\<br />&=&\frac{A\,Z_0+B}{C\,Z_0+D}\\<br />C\,{Z_0}^2-\left(A-D\right)Z_0-B&=&C\,\left(\left(Z_0-\frac{A-D}{2\,C}\right)^2-\left(\left(\frac{A-D}{2\,C}\right)^2+\frac{B}{C}\right)=0\\<br />Z_0&=&\frac{A-D\pm\sqrt{\left(A-D\right)^2+4\,B\,C}}{2\,C}<br />\end{eqnarray}$ ここで対称回路ではA=Dであるので $\begin{eqnarray}<br />Z_0&=&\pm\sqrt{\frac{B}{C}}=\pm\sqrt{Z_s\,Z_o}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。Z0,Zs,Zoは一般に複素数なのでZ0は曖昧で±はそのままにしてある。無損失線路か無歪線路の場合Z0は正の実数になる。ここで四端子定数の関係式から $\begin{eqnarray}<br />A\,D-B\,C&=&A^1-B\,C=1\\<br />Z_o&=&\frac{A}{C}\\<br />Z_s&=&\frac{B}{A}<br />\end{eqnarray}$ よりA,B,Cを解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf F_{L}}&=&\begin{bmatrix}A&B\cr C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\pm\frac{\sqrt{{Z}_{o}}}{\sqrt{{Z}_{o}-{Z}_{s}}}&\pm\frac{\sqrt{{Z}_{o}}\,{Z}_{s}}{\sqrt{{Z}_{o}-{Z}_{s}}}\cr \pm\frac{\sqrt{{Z}_{o}-{Z}_{s}}}{\sqrt{{Z}_{o}}\,\left( {Z}_{o}-{Z}_{s}\right) }&\pm\frac{\sqrt{{Z}_{o}}}{\sqrt{{Z}_{o}-{Z}_{s}}}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これに対称格子形回路の開放および短絡駆動点インピーダンスを求めて代入すると $\begin{eqnarray}<br />{\bf F_{L}}&=&\begin{bmatrix}\pm\frac{{Z}_{2}+{Z}_{1}}{{Z}_{2}-{Z}_{1}}&\pm\frac{2\,{Z}_{1}\,{Z}_{2}}{{Z}_{2}-{Z}_{1}}\cr \pm\frac{2}{{Z}_{2}-{Z}_{1}}&\pm\frac{{Z}_{2}+{Z}_{1}}{{Z}_{2}-{Z}_{1}}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 Z1,Z2は一般に複素数であるので曖昧性があり、±はそのまま残してある。Z1,Z2が純抵抗の場合にはZ1>Z2の場合には-をとることになる。さてここまでは準備段階に過ぎない。いよいよそれぞれの等価回路の四端子定数を導く段階にはいる。分布定数回路と上の３つの等価回路は同値であるためには $\begin{eqnarray}<br />{\bf F}&=&\begin{bmatrix}\cosh\gamma\,l&Z_0\,\sinh\gamma\,l\cr \frac{1}{Z_0}\sinh\gamma\,l&\cosh\gamma\,l\end{bmatrix}\\<br />&=&{\bf F_T}=\begin{bmatrix}\frac{{Z}_{2t}+{Z}_{1t}}{{Z}_{2t}} & 2\,Z_{1t}+\frac{{Z_{1t}}^2}{Z_{2t}}\cr \frac{1}{{Z}_{2t}} & \frac{{Z}_{2t}+{Z}_{1t}}{{Z}_{2t}}\end{bmatrix}\\<br />&=&{\bf F_{\pi}}=\begin{bmatrix}\frac{{Z}_{1\pi}+{Z}_{2\pi}}{{Z}_{1\pi}} & {Z}_{2\pi}\cr \frac{2}{Z_{1\pi}}+\frac{Z_{2\pi}}{{{Z}_{1\pi}}^2} & \frac{{Z}_{1\pi}+{Z}_{2\pi}}{{Z}_{1\pi}}\end{bmatrix}\\<br />&=&{\bf F_{L}}=\begin{bmatrix}\pm\frac{{Z}_{2}+{Z}_{1}}{{Z}_{2}-{Z}_{1}}&\pm\frac{2\,{Z}_{1}\,{Z}_{2}}{{Z}_{2}-{Z}_{1}}\cr \pm\frac{2}{{Z}_{2}-{Z}_{1}}&\pm\frac{{Z}_{2}+{Z}_{1}}{{Z}_{2}-{Z}_{1}}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ を満たすZ1t,Z2t,Z1π,Z2π,それにZ1,Z2が存在することである。すなわち $\begin{eqnarray}<br />Z_{2t}\left(1-\cosh\gamma\,l\right)+Z_{1t}&=&0\\<br />Z_{2t}\left(2\,Z_{1t}-Z_0\,\sinh\gamma\,l\right)+Z_{1t}^2&=&0\\<br />Z_0-Z_{2t}\,\sinh\gamma\,l&=&0<br />\end{eqnarray}$ のいずれか２つの式をZ1t,Z2tに関する連立方程式として解くと。 $\begin{eqnarray}<br />Z_{1t}&=&\frac{{Z}_{0}\,\sinh\gamma\,l }{\cosh\gamma\,l+1}=\frac{{Z}_{0}\,\left(\cosh\gamma\,l -1\right)}{\sinh\gamma\,l}\\<br />&=&Z_0\,\tanh\frac{\gamma\,l}{2}\\<br />Z_{2t}&=&\frac{{Z}_{0}}{\sinh\gamma\,l}<br />\end{eqnarray}$ と言う結果が得られる。Z1tについては最後に半数の双曲線関数の公式を使った。同様にπ形回路に関しても $\begin{eqnarray}<br />Z_{1\pi}\left(1-\cosh\gamma\,l\right)+Z_{2\pi}&=&0\\<br />Z_{2\pi}-Z_0\,\sinh\gamma\,l&=&0\\<br />Z_0\left(2\,Z_{1\pi}+Z_{2\pi}\right)-Z_{1\pi}^2\,\sinh\gamma\,l&=&0<br />\end{eqnarray}$ のいずれか２つの式をZ1π,Z2πに関する連立方程式として解くと。 $\begin{eqnarray}<br />Z_{1\pi}&=&\frac{{Z}_{0}\,\sinh\gamma\,l }{\cosh\gamma\,l -1}=\frac{{Z}_{0}\,\left(\cosh\gamma\,l +1\right)}{\sinh\gamma\,l }\\<br />&=&Z_0\,\coth\frac{\gamma\,l}{2}\\<br />Z_{2\pi}&=&{Z}_{0}\,\sinh\gamma\,l<br />\end{eqnarray}$ などという結果が得られる。Z1πに関しては同様に半数の双曲線関数の公式を使った。最後格子形回路についても $\begin{eqnarray}<br />\pm\left(Z_1+Z_2\right)-\left(Z_2-Z_1\right)\cosh\gamma\,l&=&0\\<br />\pm\,2\,Z_1\,Z_2-\left(Z_2-Z_1\right)Z_0\,sinh\gamma\,l&=&0\\<br />\pm\,2\,Z_0-\left(Z_2-Z_1\right)\sinh\gamma\,l&=&0<br />\end{eqnarray}$ のいずれか２つの式をZ1,Z2に関する連立方程式として解くと。 $\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&\frac{{Z}_{0}\,\left(\cosh\gamma\,l -1\right)}{\sinh\gamma\,l}\\<br />&=&Z_0\,\tanh\frac{\gamma\,l}{2}\\<br />Z_2&=&\frac{{Z}_{0}\,\sinh\gamma\,l }{\cosh\gamma\,l -1}\\<br />&=&Z_0\,\coth\frac{\gamma\,l}{2}<br />\end{eqnarray}$ などという結果が得られる。実は上のZ1T,Z2T,Z1π,Z2π、それにZ1,Z2にはそれぞれ二次方程式のため２つの解が存在する。そのどちらでも元の方程式を満足するのだが、はてさてこれはどうしたものだろう。同値の２つの回路が存在するということになる。この疑問についての答えを出すのは読者の課題としよう( ´∀`) P.S もちろん受動素子だけで構成する場合には、インピーダンスの実数部は負とならないため、上の結果でよいことなる。しかし受動素子に限らないならば、インピーダンスの実数部が負になってもよいのである。

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題名	投稿者	日時
分布定数回路の定常現象演習問題	webadm	2012-9-30 23:21
波長と位相定数	webadm	2012-9-30 23:34
直列インピーダンス、並列アドミッタンス、特性インピーダンス、伝搬定数	webadm	2012-10-1 0:36
減衰定数、位相定数の近似式	webadm	2012-10-1 7:06
一様分布定数回路	webadm	2012-10-7 6:19
低損失線路	webadm	2012-10-9 2:16
基礎方程式：受電端電圧ER、電流IRを与えた場合	webadm	2012-10-10 6:05
基礎方程式：受電端負荷ZR,送電端電流IRを与えた場合	webadm	2012-10-10 6:34
特性インピーダンス	webadm	2012-10-13 9:18
続：特性インピーダンス	webadm	2012-10-13 18:08
続：波長と位相定数	webadm	2012-10-13 23:50
続々：特性インピーダンス	webadm	2012-10-14 0:39
基礎方程式：無限長線路で送電端に直流電圧,電流を与えた場合	webadm	2012-10-14 2:05
基礎方程式：有限長線路で受電端を開放し送電端に直流電圧、電流を加えた場合	webadm	2012-10-14 2:15
線路長が波長より十分短い場合の送電端と受電端の電圧、電流の近似	webadm	2012-10-14 22:26
1/4波長より短い無損失線路	webadm	2012-10-16 4:55
漏洩線路	webadm	2012-10-17 5:55
まだまだ：特性インピーダンス	webadm	2012-10-24 8:35
RC線路	webadm	2012-10-25 6:19
インピーダンス整合	webadm	2012-10-25 7:19
Ferranti効果	webadm	2012-10-27 5:48
四端子定数	webadm	2012-11-2 7:17
» 等価回路	webadm	2012-11-2 8:50
影像インピーダンス、伝達定数	webadm	2012-11-3 8:48
線路定数の異なる２つの分布定数回路の接続	webadm	2012-11-4 1:46
位置角	webadm	2012-11-4 2:28
続：位置角	webadm	2012-11-4 3:34
続々：位置角	webadm	2012-11-4 4:39
反射係数、透過係数	webadm	2012-11-4 5:07
反射係数	webadm	2012-11-10 19:36
定在波比	webadm	2012-11-12 8:21
続：反射係数、透過係数	webadm	2012-11-13 8:00
電圧反射係数、電流反射係数、定在波比	webadm	2012-11-19 0:12
電圧定在波比	webadm	2012-11-19 5:37
続：電圧定在波比	webadm	2012-11-20 10:00
続々：電圧定在波比	webadm	2012-11-23 18:49
まだまだ：電圧定在波比	webadm	2012-11-24 4:54
反射係数とインピーダンスの関係	webadm	2012-11-24 7:43
インピーダンス整合	webadm	2012-11-24 20:19
続：インピーダンス整合	webadm	2012-11-24 22:51
続々：インピーダンス整合	webadm	2012-11-25 18:35
まだまだ：インピーダンス整合	webadm	2012-11-25 21:12
線路の共振、半共振	webadm	2012-11-25 22:21
もうひとつの：インピーダンス整合	webadm	2012-11-26 4:18
分布定数回路の設計	webadm	2012-12-4 7:58
またまた：インピーダンス整合	webadm	2012-12-7 5:33
スミス図表	webadm	2012-12-8 20:09
続：スミス図表	webadm	2012-12-8 20:52
続々：スミス図表	webadm	2012-12-8 21:34
まだまだ：スミス図表	webadm	2012-12-9 1:11

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