次は影像インピーダンスと伝達定数に関する問題

長さ1[km]当り、特性インピーダンスZ0=20+j15[Ω]、伝搬定数γ=0.01+j0.003の線路がl=50[km]ある。この線路の影像インピーダンスZ01,Z02および伝達定数θを求めよ。

というもの。

影像インピーダンスも伝達定数も二端子対回路で学んだのを思い出す必要がある。

元来影像インピーダンスは非対称な集中定数回路で定義されていてZ01,Z02と２つある。しかし二端子対回路で学んだように、対称回路では入力端と出力端を取り替えても回路は同じなので２つの影像インピーダンスは同値となる。

二端子対回路の時に独自に非対称な伝送回路を互いに背中合わせに縦続接続すると、二種類の対称回路ができることから、その伝送行列の固有ベクトルの成分が影像インピーダンスに相当し、固有値の自然対数が回路２つ分の伝達係数となることを再発見した。対称回路の伝送行列の固有ベクトルの成分は影像インピーダンスであると同時に特性インピーダンスでもある。

ここではそれを再掲するつもりはないが、結果だけ利用することにしよう。

すなわち一様な線路の特性インピーダンスは対称回路の影像インピーダンスと等しい。



ここで分布定数回路の伝送行列の固有ベクトルと固有値として特性インピーダンスと伝達係数を導くと



ということになる。伝達定数は固有値の自然対数γlで固有ベクトルの成分は特性インピーダンスに他ならなかったことが確認できた。

従って題意の数値を代入すると



ということになる。

P.S

伝送行列の固有値と固有ベクトルにはそれぞれ曖昧性がある。常識的には入力端から供給される電力よりもは出力端に供給される電力が増えることはないし、インピーダンスの実数部は常に正をとるように選ぶ。しかしそれとは双対なもうひとつの世界があることも忘れてはならないのである。