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webadm	投稿日時: 2012-12-7 5:33
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3110	またまた：インピーダンス整合インピーダンス整合の問題はまだ続く特性インピーダンスが純抵抗R0の線路を負荷抵抗RLで終端し、図のように短絡スタブを接続して整合をとりたい。l1,l2を求めよ。ただしスタブの位相定数βは線路のそれと等しいものとする。というもの。左側の送信端から見て駆動点インピーダンスが線路の特性インピーダンスR0と等しくなれば整合がとれたことになるので、A-A'点で二股回路の駆動点インピーダンスがR0と等しくなるl1,l2の条件を求めればよいことになる。これも前問と同様に答えの一歩手前であるl1,l2に関する連立方程式が得られれば良いことになる。二股回路の短絡スタブ側と負荷抵抗RLで終端された側の線路のそれぞれのA-A'点での駆動点インピーダンスは $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}Z_1\,I_S\cr I_S\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\cos\beta\,l_1&j\,R_0\sin\beta\,l_1\cr j\frac{1}{R_0}\sin\beta\,l_1&\cos\beta\,l_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}R_L\,I_R\cr I_R\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}I_R\left(R_L\,\cos\beta\,l_1+j\,R_0\,\sin\beta\,l_1\right)\cr I_R\left(\cos\beta\,l_1+j\frac{R_L}{R_0}\sin\beta\,l_1\right)\end{bmatrix}\\<br />Z_1&=&\frac{R_L\,\cos\beta\,l_1+j\,R_0\,\sin\beta\,l_1}{\cos\beta\,l_1+j\,\frac{R_L}{R_0}\sin\beta\,l_1}=R_0\,\frac{R_L+j\,R_0\,\tan\beta\,l_1}{R_0+j\,R_L\,\tan\beta\,l_1}<br />\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}Z_2\,I_S\cr I_S\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}\cos\beta\,l_2&j\,R_0\,\sin\beta\,l_2\cr j\frac{1}{R_0}\sin\beta\,l_2&\cos\beta\,l_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\cr I_R\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}j\,I_R\,R_0\,\sin\beta\,l_2\cr I_R\,\cos\beta\,l_2\end{bmatrix}\\<br />Z_2&=&j\,R_0\,\tan\beta\,l_2<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って二股回路の合成インピーダンスはZ1,Z2の並列接続になるので $\begin{eqnarray}<br />Z&=&\frac{1}{\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}}=\frac{Z_1\,Z_2}{Z_1+Z_2}=\frac{j\,{R_0}^2\,\tan\beta\,l_2\,\frac{R_L+j\,R_0\,\tan\beta\,l_1}{R_0+j\,R_L\,\tan\beta\,l_1}}{R_0\,\frac{R_L+j\,R_0\,\tan\beta\,l_1}{R_0+j\,R_L\,\tan\beta\,l_1}+j\,R_0\,\tan\beta\,l_2}=\frac{j\,{R_0}^{\cancel{2}}\,\tan\beta\,l_2\,\left(R_L+j\,R_0\,\tan\beta\,l_1\right)}{\cancel{R_0}\left(R_L+j\,R_0\,\tan\beta\,l_1\right)+j\,\cancel{R_0}\,\tan\beta\,l_2\,\left(R_0+j\,R_L\,\tan\beta\,l_1\right)}\\<br />&=&R_0\,\frac{j\,R_L\,\tan\beta\,l_2-{R_0}\,\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2}{R_L\left(1-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)+j\,R_0\,\left(\tan\beta\,l_1+\tan\beta\,l_2\right)}\\<br />&=&R_0\frac{\left(j\,R_L\,\tan\beta\,l_2-{R_0}\,\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)\left(R_L\left(1-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)-j\,R_0\,\left(\tan\beta\,l_1+\tan\beta\,l_2\right)\right)}{\left(R_L\left(1-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)+j\,R_0\,\left(\tan\beta\,l_1+\tan\beta\,l_2\right)\right)\left(R_L\left(1-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)-j\,R_0\,\left(\tan\beta\,l_1+\tan\beta\,l_2\right)\right)}\\<br />&=&R_0\frac{R_0\,R_L\,\left(\tan\beta\,l_2\left(\cancel{\tan\beta\,l_1}+\tan\beta\,l_2\right)-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\left(\cancel{1}-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)\right)+j\,\tan\beta\,l_2\left({R_L}^2\,\left(1-\tan\beta\,l_1\,\right)+{R_0}^2\,\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\left(\tan\beta\,l_1+\tan\beta\,l_2\right)\right)}{{R_L}^2\left(1-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)^2+{R_0}^2\left(\tan\beta\,l_1+\tan\beta\,l_2\right)^2}\\<br />&=&R_0\frac{R_0\,R_L\left(1+\tan^2\beta\,l_1\right)\tan^2\beta\,l_2+j\,\tan\beta\,l_2\left({R_L}^2\left(1-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)+{R_0}^2\tan\beta\,l_1\left(\tan\beta\,l_1+\tan\beta\,l_2\right)\right)}{{R_L}^2\left(1-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)^2+{R_0}^2\left(\tan\beta\,l_1+\tan\beta\,l_2\right)^2}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従ってZがR0と等しくなる条件は $\begin{eqnarray}<br />1&=&\frac{R_0\,R_L\left(1+\tan^2\beta\,l_1\right)\tan^2\beta\,l_2}{{R_L}^2\left(1-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)^2+{R_0}^2\left(\tan\beta\,l_1+\tan\beta\,l_2\right)^2}\\<br />0&=&{R_L}^2\left(1-\tan\beta\,l_1\,\tan\beta\,l_2\right)+{R_0}^2\tan\beta\,l_1\left(\tan\beta\,l_1+\tan\beta\,l_2\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。一応l1,l2に関する連立方程式が得られたが、このままではさすがに解けないので、tanを変数に置き換えると $\begin{eqnarray}<br />1&=&\frac{R_0\,R_L\left(1+x^2\right)y^2}{{R_L}^2\left(1-x\,y\right)^2+{R_0}^2\left(x+y\right)^2}\\<br />0&=&{R_L}^2\,\left(1-x\,y\right)+{R_0}^2\,x\,\left(x+y\right)\\<br />x&=&\tan\beta\,l_1\\<br />y&=&\tan\beta\,l_2<br />\end{eqnarray}$ これをxとyに関する連立方程式として解くと $\begin{eqnarray}<br />x&=&\frac{\sqrt{R_L}}{\sqrt{{R}_{0}}}\\<br />y&=&\frac{\sqrt{{R}_{0}\,R_L}}{R_L-{R}_{0}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従ってl1,l2は $\begin{eqnarray}<br />\tan\beta\,l_1&=&\frac{\sqrt{R_L}}{\sqrt{R_0}}\\<br />l_1&=&\frac{1}{\beta}\tan^{-1}\frac{\sqrt{R_L}}{\sqrt{R_0}}\\<br />&=&\frac{\lambda}{2\,\pi}\tan^{-1}\frac{\sqrt{R_L}}{\sqrt{R_0}}\\<br />\tan\beta\,l_2&=&\frac{\sqrt{R_0\,R_L}}{R_L-R_0}\\<br />l_2&=&\frac{1}{\beta}\tan^{-1}\frac{\sqrt{R_0\,R_L}}{R_L-R_0}\ \ \ \ \left(l_2\gt 0\right)<br />&=&\begin{case}<br />\frac{\lambda}{2\,\pi}\tan^{-1}\frac{\sqrt{R_0\,R_L}}{R_L-R_0}\ \ \ \ \ \left(R_L\gt R_0\right)<br />\frac{\lambda}{2\,\pi}\left(\pi-\tan^{-1}\frac{\sqrt{R_0\,R_L}}{R_0-R_L}\right)\ \ \ \ \left(R_L\lt R_0\right)<br />\end{case}<br />\beta&=&\frac{2\,\pi}{\lambda}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。この回路は高周波回路でマッチングを取るのに実際に用いられる実用回路である。アマチュア無線のアンテナの給電部に使われているので注意するとそれらしきスタブ線路があるのが確認できる。

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題名	投稿者	日時
分布定数回路の定常現象演習問題	webadm	2012-9-30 23:21
波長と位相定数	webadm	2012-9-30 23:34
直列インピーダンス、並列アドミッタンス、特性インピーダンス、伝搬定数	webadm	2012-10-1 0:36
減衰定数、位相定数の近似式	webadm	2012-10-1 7:06
一様分布定数回路	webadm	2012-10-7 6:19
低損失線路	webadm	2012-10-9 2:16
基礎方程式：受電端電圧ER、電流IRを与えた場合	webadm	2012-10-10 6:05
基礎方程式：受電端負荷ZR,送電端電流IRを与えた場合	webadm	2012-10-10 6:34
特性インピーダンス	webadm	2012-10-13 9:18
続：特性インピーダンス	webadm	2012-10-13 18:08
続：波長と位相定数	webadm	2012-10-13 23:50
続々：特性インピーダンス	webadm	2012-10-14 0:39
基礎方程式：無限長線路で送電端に直流電圧,電流を与えた場合	webadm	2012-10-14 2:05
基礎方程式：有限長線路で受電端を開放し送電端に直流電圧、電流を加えた場合	webadm	2012-10-14 2:15
線路長が波長より十分短い場合の送電端と受電端の電圧、電流の近似	webadm	2012-10-14 22:26
1/4波長より短い無損失線路	webadm	2012-10-16 4:55
漏洩線路	webadm	2012-10-17 5:55
まだまだ：特性インピーダンス	webadm	2012-10-24 8:35
RC線路	webadm	2012-10-25 6:19
インピーダンス整合	webadm	2012-10-25 7:19
Ferranti効果	webadm	2012-10-27 5:48
四端子定数	webadm	2012-11-2 7:17
等価回路	webadm	2012-11-2 8:50
影像インピーダンス、伝達定数	webadm	2012-11-3 8:48
線路定数の異なる２つの分布定数回路の接続	webadm	2012-11-4 1:46
位置角	webadm	2012-11-4 2:28
続：位置角	webadm	2012-11-4 3:34
続々：位置角	webadm	2012-11-4 4:39
反射係数、透過係数	webadm	2012-11-4 5:07
反射係数	webadm	2012-11-10 19:36
定在波比	webadm	2012-11-12 8:21
続：反射係数、透過係数	webadm	2012-11-13 8:00
電圧反射係数、電流反射係数、定在波比	webadm	2012-11-19 0:12
電圧定在波比	webadm	2012-11-19 5:37
続：電圧定在波比	webadm	2012-11-20 10:00
続々：電圧定在波比	webadm	2012-11-23 18:49
まだまだ：電圧定在波比	webadm	2012-11-24 4:54
反射係数とインピーダンスの関係	webadm	2012-11-24 7:43
インピーダンス整合	webadm	2012-11-24 20:19
続：インピーダンス整合	webadm	2012-11-24 22:51
続々：インピーダンス整合	webadm	2012-11-25 18:35
まだまだ：インピーダンス整合	webadm	2012-11-25 21:12
線路の共振、半共振	webadm	2012-11-25 22:21
もうひとつの：インピーダンス整合	webadm	2012-11-26 4:18
分布定数回路の設計	webadm	2012-12-4 7:58
» またまた：インピーダンス整合	webadm	2012-12-7 5:33
スミス図表	webadm	2012-12-8 20:09
続：スミス図表	webadm	2012-12-8 20:52
続々：スミス図表	webadm	2012-12-8 21:34
まだまだ：スミス図表	webadm	2012-12-9 1:11

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