最初は波動方程式を解くことから

次の２階線型偏微分放映式を波動方程式という。この方程式を解き、その結果を用いて無損失線路の電圧、電流分布の一般解を求めよ。



というもの。

学校でも物理で波動方程式を解く講義を必ず受けるが、これも実は電信方程式の特殊なケースにすぎず、歴史的に早い時期に解くことができた易しい問題。

最初から電信方程式に取り組むと全てのケースを解くのに２０年とかかかった人も居るぐらいだから。一番単純なケースだけやってお茶を濁すというぐらいしか学校では無理だからだ。

波動方程式の一般解はd'Alembertが最初に導いたことでd'Alembertの解として知られているが、d'Alembertの方法はなぞるのと長いので、今日的にはそれ以外の色々な簡潔な導出方法があって、そちらを使ってd'Alembertの解を得るのが普通だ。

ここでは著者の解とも市販の物理数学のテキストにも無いHeavisideの演算子法をつかって同じ結果を得てみることにする。

いずれの方法でも時間と距離それぞれに関して常微分方程式を解くだけである。

問題の偏微分方程式を以下の用に作用素方程式に書き直す



次に時間で２重積分して初期条件を与えるポテンシャル項を出現させる



これをeに関して時間、距離に関して順番に演算子法で解くと



ということになる。これがd'Alembertの解である。e1,e2は初期条件によって決まる任意の距離と時間に依存する一価関数であり、互いに時間とともに速度vで空間座標軸を逆方向に移動することがわかる。

さて題意では電流分布についての一般解も求めている。

電流分布に関しても電信方程式はまったく同じだから、



と表される。

これらの電圧分布と電流分布の一般解を電信方程式の基礎方程式に代入すると



題意では無損失線路の場合なので、R=G=0としてよく



ここでvは、無損失線路での波の伝搬速度なので



を代入すると



また無損失線路の特性インピーダンスZ0は



であることから、



という関係が成り立つ。

第二式の両辺にZ0を乗じて、項を消去すると



両辺を積分して、変数変換を元に戻すと



という結果が得られる。これを元の電流分布の式に代入すると



ということになる。

著者はこの関係を一言で済ませているが、それだともやもやして納得いかないという場合に几帳面に示すとこうことになる。

こうやって常々基礎計算力を磨いておくとぼけ防止になるし、普段仕事上でのリスクを予見する能力を維持することにもなるので技術者として実益もあり悪いことではない。

P.S

d'Alembertの解は２対あって、ひとつは上に上げたような時間を固定して空間軸上を見るのと、空間を固定して時間軸上の変化を見る場合である。後者の場合、e1(t-x/v),e2(t+x/v)のような２つの関数の和で表されることになる。

いずれにせよ波動方程式は宇宙空間のように無損失な媒体を波が伝わる一番簡単なケースなので、それ以外のケースになるといきなり難しくなることが想像に難くない。