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webadm	投稿日時: 2013-5-19 23:57
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	無限長無歪み線路次は境界値問題で、無限長無歪み線路に関するもの無限長無歪み線路の送電端にes(t)=Em sinωtを加えるとき、任意の点xの電圧、電流はどうなるか。というもの。基礎方程式をHeavisideの演算子とベクトルで表すと $\begin{eqnarray}<br />\frac{\partial}{\partial x}&=&p,\ \ \ \ \frac{\partial}{\partial t}=q\\<br />{\bf U}&=&\begin{bmatrix}e\left(x,t\right)\cr i\left(x,t\right)\end{bmatrix}\\<br />\begin{bmatrix}p&L\,q+R\cr C\,q+G&p\end{bmatrix}{\bf U}&=&0<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これの特性方程式は $\begin{eqnarray}<br />\left\|\begin{array}p&L\,q+R\cr C\,q+G&p\end{array}\right\|&=&p^2-\left(L\,q+R\right)\left(C\,q+G\right)=p^2-L\,C\left(q+\frac{R}{L}\right)\left(q+\frac{G}{C}\right)\\<br />&=&p^2-L\,C\left(\left(q+\frac{1}{2}\left(\frac{R}{L}+\frac{G}{C}\right)\right)^2-\left(\frac{1}{2}\left(\frac{R}{L}-\frac{G}{C}\right)\right)^2\right)\\<br />&=&p^2-L\,C\left(\left(q+\alpha\right)^2-\beta^2\right)\\<br />&=&0\\<br />\alpha&=&\frac{1}{2}\left(\frac{R}{L}+\frac{G}{C}\right),\ \ \ \ \beta=\frac{1}{2}\left(\frac{R}{L}-\frac{G}{C}\right)<br />\end{eqnarray}$ 従って無歪み線路(R/L=G/C)の場合 $\begin{eqnarray}<br />\left(p^2-L\,C\left(q+\alpha\right)^2\right){\bf U}&=&0<br />\end{eqnarray}$ ということになる。前問と同様に距離で二重積分してベクトルポテンシャルを出現させると $\begin{eqnarray}<br />\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p}\left(p^2-L\,C\left(q+\alpha\right)^2\right){\bf U}+{\bf K_0}\right)+{\bf K_1}&=&0<br />\end{eqnarray}$ これをUに関して解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf U}&=&-\frac{{\bf K_1}p^2+{\bf K_0}p}{p^2-L\,C\left(q+\alpha\right)^2}=-\left(\frac{p^2}{p^2-L\,C\left(q+\alpha\right)^2}\right){\bf K_1}-\left(\frac{p\,\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)}{p^2-L\,C\left(q+\alpha\right)^2}\right)\frac{{\bf K_0}}{\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)}\\<br />&=&-{\bf K_1}\cosh\left(x\,\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)\right)-\frac{{\bf K_0}}{\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)}\sinh\left(x\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)\right)<br />\end{eqnarray}$ ここで以下の無限長線路の境界条件を与える $\begin{eqnarray}<br />\left.{\bf U}\right\|_{x=0}&=&\begin{bmatrix}E_m\,\sin\omega\,t\cr \frac{1}{Z_0}E_m\,\sin\omega\,t\end{bmatrix}\\<br />\left.{\bf U}\right\|_{x=x_0}&=&\begin{bmatrix}0\cr 0\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ここでx0は送電端より十分遠い距離とする。これを途中の解に適用すると $\begin{eqnarray}<br />\begin{bmatrix}E_m\,\sin\omega\,t\cr \frac{1}{Z_0}E_m\,\sin\omega\,t\end{bmatrix}&=&-{\bf K_1}\\<br />\begin{bmatrix}0\cr 0\end{bmatrix}&=&-{\bf K_1}\cosh\left(x_0\,\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)\right)-\frac{{\bf K_0}}{\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)}\sinh\left(x_0\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)\right)\\<br />\end{eqnarray}$ 第一式を第二式に代入してx0→∞とすると $\begin{eqnarray}<br />{\bf K_0}&=&\begin{bmatrix}\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)\coth\left(x_0\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)\right)E_m\,\sin\omega\,t\cr \frac{1}{Z_0}\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)\coth\left(x_0\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)\right)E_m\,\sin\omega\,t\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)E_m\,\sin\omega\,t\cr \frac{1}{Z_0}\sqrt{L\,C}\left(q+\alpha\right)E_m\,\sin\omega\,t\end{bmatrix}\ \ \ \left(x_0\to\infty\right)\\<br />{\bf K_1}&=&\begin{bmatrix}-E_m\,\sin\omega\,t\cr -\frac{1}{Z_0}E_m\,\sin\omega\,t\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを途中解に代入して完全に解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf U}&=&\begin{bmatrix}e^{-x\,\sqrt{L\,C}\alpha}e^{-x\,\sqrt{L\,C}q}E_m\,\sin\omega\,t\cr \frac{1}{Z_0}e^{-x\,\sqrt{L\,C}\alpha}e^{-x\,\sqrt{L\,C}q}E_m\,\sin\omega\,t\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{case}<br />\begin{bmatrix}0\cr 0\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(t\lt x\sqrt{L\,C}\right)\\<br />\begin{bmatrix}e^{-x\,\sqrt{L\,C}\alpha}E_m\,\sin\omega\left(t-x\sqrt{L\,C}\right)\cr \frac{1}{Z_0}e^{-x\,\sqrt{L\,C}\alpha}E_m\,\sin\omega\left(t-x\sqrt{L\,C}\right)\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(t\ge x\sqrt{L\,C}\right)<br />\end{case}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これでも十分だが更に整理すると $\begin{eqnarray}<br />\sqrt{L\,C}\alpha&=&\sqrt{L\,C}\frac{1}{2}\left(\frac{R}{L}+\frac{G}{C}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{C}{L}R^2}+\sqrt{\frac{L}{C}G^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\cancel{C}\,R\frac{G}{\cancel{C}}}+\sqrt{\cancel{L}\,G\frac{R}{\cancel{L}}}\right)\ \ \ \left(\frac{R}{L}=\frac{G}{C}\right)\\<br />&=&\sqrt{R\,G}<br />\end{eqnarray}$ であることから $\begin{eqnarray}<br />{\bf U}&=&\begin{case}<br />\begin{bmatrix}0\cr 0\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(t\lt x\sqrt{L\,C}\right)\\<br />\begin{bmatrix}e^{-x\,\sqrt{R\,G}}E_m\,\sin\omega\left(t-x\sqrt{L\,C}\right)\cr \frac{1}{Z_0}e^{-x\,\sqrt{R\,G}}E_m\,\sin\omega\left(t-x\sqrt{L\,C}\right)\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(t\ge x\sqrt{L\,C}\right)<br />\end{case}<br />\end{eqnarray}$ としても良い。ここで特性インピーダンスZ0は無歪み線路では実数値で $\begin{eqnarray}<br />Z_0&=&\sqrt{\frac{L}{C}}<br />\end{eqnarray}$ である。

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題名	投稿者	日時
分布定数回路の過渡現象演習問題	webadm	2013-5-11 21:03
波動方程式	webadm	2013-5-12 20:14
無歪み線路	webadm	2013-5-18 21:57
無限長無損失線路	webadm	2013-5-19 4:19
» 無限長無歪み線路	webadm	2013-5-19 23:57
無限長RC線路	webadm	2013-5-20 6:55
損失のある無限長線路	webadm	2013-5-20 9:24
続：無損失線路	webadm	2013-5-21 7:38
続：無歪み線路	webadm	2013-5-24 15:12
続々：無損失線路	webadm	2013-6-8 20:35
もうひとつの：無損失線路	webadm	2013-6-9 22:09
続々：無歪み線路	webadm	2013-6-24 0:22
もうひとつの：無歪み線路	webadm	2013-7-15 8:42
続：RC線路	webadm	2013-7-15 17:17
続々：RC線路	webadm	2013-9-5 9:46
またまた：無損失線路	webadm	2013-9-8 21:11
まだまだ：無損失線路	webadm	2013-11-9 23:54
無損失線路は続くよ	webadm	2013-11-13 0:27
どこまでも無損失線路	webadm	2013-11-14 23:27
装荷回路	webadm	2013-11-17 12:57
ダンピング回路	webadm	2013-11-18 1:50
ブロッキングキャパシタ	webadm	2013-11-18 2:27

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