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webadm	投稿日時: 2013-5-20 6:55
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3110	無限長RC線路これも理論の時にやってしまったが、境界値問題である t=0で直流電圧Eを加えるとき無限長線路の電圧、電流分布はどうなるか。またE=1[V],R=3[Ω/km],C=0.2[uF/km]のときの電圧、電流を図示せよ。というもの。まずは電圧、電流の解を求める必要がある。 RC線路の基礎方程式をHeavisideの演算子とベクトルで表すと $\begin{eqnarray}<br />\frac{\partial}{\partial x}&=&p,\ \ \ \ \frac{\partial}{\partial t}=q\\<br />{\bf U}&=&\begin{bmatrix}e\left(x,t\right)\cr i\left(x,t\right)\end{bmatrix}\\<br />\begin{bmatrix}p&R\cr C\,q&p\end{bmatrix}{\bf U}&=&0<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これの特性方程式は $\begin{eqnarray}<br />\left\|\begin{array}p&R\cr C\,q&p\end{array}\right\|&=&p^2-R\,C\,q=0\\<br />\left(p^2-R\,C\,q\right){\bf U}&=&0<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これは熱方程式である。距離で２重積分してベクトルポテンシャル項を出現させると $\begin{eqnarray}<br />\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p}\left(p^2-R\,C\,q\right){\bf U}+{\bf K_0}\right)+{\bf K_1}&=&0<br />\end{eqnaray}$ これをUについて解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf U}&=&-\frac{{\bf K_1}p^2+{\bf K_0}p}{p^2-R\,C\,q}=-\left(\frac{p^2}{p^2-R\,C\,q}\right){\bf K_1}-\left(\frac{p\,\sqrt{R\,C\,q}}{p^2-R\,C\,q}\right)\frac{{\bf K_0}}{\sqrt{R\,C\,q}}\\<br />&=&-{\bf K_1}\cosh\,x\sqrt{R\,C\,q}-\frac{{\bf K_0}}{\sqrt{R\,C\,q}}\sinh\,x\sqrt{R\,C\,q}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ここで以下の無限長線路の境界条件を与えると $\begin{eqnarray}<br />\left.{\bf U}\right\|_{x=0}&=&-{\bf K_1}=\begin{bmatrix}E\cr \frac{E}{Z_0}\end{bmatrix}\\<br />\left.{\bf U}\right\|_{x=x_0}&=&-{\bf K_1}\cosh\,x_0\,\sqrt{R\,C\,q}-\frac{{\bf K_0}}{\sqrt{R\,C\,q}}\sinh\,x_0\,\sqrt{R\,C\,q}=\begin{bmatrix}0\cr 0\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ 第一式を第二式に代入してK0を解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf K_0}&=&\begin{bmatrix}\sqrt{R\,C\,q}E\,\coth\,x_0\,\sqrt{R\,C\,q}\cr \frac{1}{Z_0}\sqrt{R\,C\,q}E\,\coth\,x_0\,\sqrt{R\,C\,q}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\sqrt{R\,C\,q}E\cr \frac{E}{Z_0}\sqrt{R\,C\,q}\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(x_0\to \infty\right)<br />{\bf K_1}&=&\begin{bmatrix}-E\cr -\frac{E}{Z_0}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ これを途中解に代入して完全に解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf U}&=&\begin{bmatrix}E\,\left(\cosh\,x\,\sqrt{R\,C\,q}-\sinh\,x\,\sqrt{R\,C\,q}\right)\cr \frac{E}{Z_0}\left(\cosh\,x\,\sqrt{R\,C\,q}-\sinh\,x\,\sqrt{R\,C\,q}\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E\left(\frac{\cancel{e^{x\sqrt{R\,C\,q}}+e^{-x\sqrt{R\,C\,q}}}}{2}-E\frac{\cancel{e^{x\sqrt{R\,C\,q}}}-e^{-x\sqrt{R\,C\,q}}}{2}\right)\cr E\left(\sqrt{\frac{C\,q}{R}}\frac{\cancel{e^{x\sqrt{R\,C\,q}}}+e^{-x\sqrt{R\,C\,q}}}{2}-\sqrt{\frac{C\,q}{R}}\frac{\cancel{e^{x\sqrt{R\,C\,q}}}-e^{-x\sqrt{R\,C\,q}}}{2}\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}Ee^{-x\,\sqrt{R\,C\,q}}\cr E\sqrt{\frac{C\,q}{R}}e^{-x\sqrt{R\,C\,q}}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E\left(1-erf\left(\frac{x\sqrt{R\,C}}{2\,\sqrt{t}}\right)\right)\cr E\sqrt{\frac{C}{R\,\pi\,t}}e^{-\frac{x^2\,R\,C}{4\,t}}\end{bmatrix}\\<br />Z_0&=\sqrt{\frac{R}{C\,q}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 RC線路の場合には線路が抵抗Rで直列に接続されているので、信号はすぐさま抵抗分圧でどんなに遠い受電端でも即時に伝わるという矛盾があるため、波が伝わらないという時空間が存在しない。著者は定性的に電圧と電流の式を調べているが、面倒なのでMaximaでプロットしてしまおう。電圧分布を時間と距離に関してプロットすると電流分布を時間と距離に関してプロットするとということになる。著者はついでに電流のピーク値を求める式を導出している。

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題名	投稿者	日時
分布定数回路の過渡現象演習問題	webadm	2013-5-11 21:03
波動方程式	webadm	2013-5-12 20:14
無歪み線路	webadm	2013-5-18 21:57
無限長無損失線路	webadm	2013-5-19 4:19
無限長無歪み線路	webadm	2013-5-19 23:57
» 無限長RC線路	webadm	2013-5-20 6:55
損失のある無限長線路	webadm	2013-5-20 9:24
続：無損失線路	webadm	2013-5-21 7:38
続：無歪み線路	webadm	2013-5-24 15:12
続々：無損失線路	webadm	2013-6-8 20:35
もうひとつの：無損失線路	webadm	2013-6-9 22:09
続々：無歪み線路	webadm	2013-6-24 0:22
もうひとつの：無歪み線路	webadm	2013-7-15 8:42
続：RC線路	webadm	2013-7-15 17:17
続々：RC線路	webadm	2013-9-5 9:46
またまた：無損失線路	webadm	2013-9-8 21:11
まだまだ：無損失線路	webadm	2013-11-9 23:54
無損失線路は続くよ	webadm	2013-11-13 0:27
どこまでも無損失線路	webadm	2013-11-14 23:27
装荷回路	webadm	2013-11-17 12:57
ダンピング回路	webadm	2013-11-18 1:50
ブロッキングキャパシタ	webadm	2013-11-18 2:27

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