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webadm	投稿日時: 2013-5-20 9:24
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3088	損失のある無限長線路次も境界値問題で、更に一般化した線路損失のあるケース G=0の無限長線路にt=0で直流電圧Eをくわえたときの電圧、電流分布を求めよ。というもの。 R＞０、L＞0、C＞0、G=0の線路の基礎方程式をHeavisideの演算子とベクトルで表すと $\begin{eqnarray}<br />\frac{\partial}{\partial x}&=&p,\ \ \ \ \frac{\partial}{\partial t}=q\\<br />{\bf U}&=&\begin{bmatrix}e\left(x,t\right)\cr i\left(x,t\right)\end{bmatrix}\\<br />\begin{bmatrix}p&L\,q+R\cr C\,q&p\end{bmatrix}{\bf U}&=&0<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これの特性方程式は $\begin{eqnarray}<br />\left\|\begin{array}p&L\,q+R\cr C\,q&p\end{array}\right\|&=&p^2-C\,q\left(L\,q+R\right)=p^2-L\,C\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)=0\\<br />\left(p^2-L\,C\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)\right){\bf U}&=&0<br />\end{eqnarray}$ 距離で二重積分してベクトルポテンシャルを出現させると $\begin{eqnarray}<br />\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p}\left(p^2-L\,C\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)\right){\bf U}+{\bf K_0}\right)+{\bf K_1}&=&0<br />\end{eqnarray}$ これをUに関して解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf U}&=&-\frac{{\bf K_1}p^2+{\bf K_0}p}{p^2-C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}=-\left(\frac{p^2}{p^2-C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}\right){\bf K_1}-\left(\frac{p\,\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}}{p^2-C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}\right)\frac{{\bf K_0}}{\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}}\\<br />&=&-{\bf K_1}\cosh\,x\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}-\frac{{\bf K_0}}{\sqrt{C\,Lq\left(q+\frac{R}{L}\right)}}\sinh\,x\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ここで以下の無限長線路の境界条件を与えると $\begin{eqnarray}<br />\left.{\bf U}\right\|_{x=0}&=&-{\bf K_1}=\begin{bmatrix}E\cr \frac{E}{Z_0}\end{bmatrix}\\<br />\left.{\bf U}\right\|_{x=x_0}&=&-{\bf K_1}\cosh\,x_0\,\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}-\frac{{\bf K_0}}{\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}}\sinh\,x_0\,\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}=\begin{bmatrix}0\cr 0\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ 第一式を第二式に代入してK0を解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf K_0}&=&\begin{bmatrix}E\,\sqrt{C\,L\,q\,\left(q+\frac{R}{L}\right)}\coth\,x_0\,\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}\cr \frac{E}{Z_0}\coth\,x_0\,\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E\,\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}\cr \frac{E}{Z_0}\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(x_0\to \infty\right)<br />{\bf K_1}&=&\begin{bmatrix}-E\cr -\frac{E}{Z_0}\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを途中解に代入して完全に解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf U}&=&\begin{bmatrix}E\left(\cosh\,x\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}-\sinh\,x\,\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}\right)\cr \frac{E}{Z_0}\left(\cosh\,x\,\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}-\sinh\,x\,\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}\right)\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E^{-x\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}}\cr E\sqrt{\frac{C}{L}}\sqrt{\frac{q}{q+\frac{R}{L}}}e^{-x\sqrt{C\,L\,q\left(q+\frac{R}{L}\right)}}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E\,e^{-x\sqrt{C\,L}\sqrt{\left(q+\frac{R}{2\,L}\right)^2-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^2}}\cr E\sqrt{\frac{C}{L}}\frac{q}{\sqrt{\left(q+\frac{R}{2\,L}\right)^2-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^2}}e^{-x\sqrt{C\,L}\sqrt{\left(q+\frac{R}{2\,L}\right)^2-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^2}}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}E\,e^{-\frac{R}{2\,L}t}e^{-x\sqrt{C\,L}\sqrt{q^2-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^2}}\cr E\sqrt{\frac{C}{L}}e^{-\frac{R}{2\,L}t}\frac{q}{\sqrt{q^2-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^2}}e^{-x\sqrt{C\,L}\sqrt{q^2-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^2}}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{case}<br />\begin{bmatrix}0\cr 0\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(t-x\sqrt{C\,L}\lt 0\right)\\<br />\begin{bmatrix}E\left(e^{-\frac{R}{2\,L\,\sqrt{C\,L}}x}+\frac{R}{2\,L\,\sqrt{C\,L}}x\int_{x\,\sqrt{C\,L}}^{t}\frac{e^{-\frac{R}{2\,L}\tau}I_1\left(\frac{R}{2\,L}\sqrt{\tau^2-\left(x\sqrt{C\,L}\right)^2}\right)}{\sqrt{\tau^2-\left(x\sqrt{C\,L}\right)^2}}d\tau\right)\cr E\sqrt{\frac{C}{L}}e^{-\frac{R}{2\,L}t}I_0\left(\frac{R}{2\,L}\sqrt{t^2-\left(x\sqrt{C\,L}\right)^2}\right)\end{bmatrix}\ \ \ \ \left(t-x\sqrt{C\,L}\ge 0\right)\\<br />\end{case}<br />Z_0&=&\sqrt{\frac{L\,q+R}{C\,q}}=\sqrt{\frac{L}{C}}\sqrt{\frac{q+\frac{R}{L}}{q}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 I0,I1はそれぞれ変形Bessel関数である $\begin{eqnarray}<br />I_n\left(z\right)&=&i^{n}J_n\left(i\,z\right)<br />\end{eqnarray}$ ちなみに著者の最後の電圧分布の解は、距離xではなく時間tで微分するように記述されているなど間違っていることに注意。例え距離で微分したとしても得られる解は最初に与えた境界条件を満足しない。それに本来なら電流分布の解を距離xで微分しなければならないが、それは(1/s)を全体に適用した後に行わなければならない。著者はもしかして演算子法を知らないか、知っていてもMiksinskyや吉田の著書を読んだことがないのだろうと想像する。さすがにこの解は電圧、電流分布の計算は要求していない。数値計算が難しいので著者も正解を出せないからだろう。これは読者の課題としよう( ´∀`)

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題名	投稿者	日時
分布定数回路の過渡現象演習問題	webadm	2013-5-11 21:03
波動方程式	webadm	2013-5-12 20:14
無歪み線路	webadm	2013-5-18 21:57
無限長無損失線路	webadm	2013-5-19 4:19
無限長無歪み線路	webadm	2013-5-19 23:57
無限長RC線路	webadm	2013-5-20 6:55
» 損失のある無限長線路	webadm	2013-5-20 9:24
続：無損失線路	webadm	2013-5-21 7:38
続：無歪み線路	webadm	2013-5-24 15:12
続々：無損失線路	webadm	2013-6-8 20:35
もうひとつの：無損失線路	webadm	2013-6-9 22:09
続々：無歪み線路	webadm	2013-6-24 0:22
もうひとつの：無歪み線路	webadm	2013-7-15 8:42
続：RC線路	webadm	2013-7-15 17:17
続々：RC線路	webadm	2013-9-5 9:46
またまた：無損失線路	webadm	2013-9-8 21:11
まだまだ：無損失線路	webadm	2013-11-9 23:54
無損失線路は続くよ	webadm	2013-11-13 0:27
どこまでも無損失線路	webadm	2013-11-14 23:27
装荷回路	webadm	2013-11-17 12:57
ダンピング回路	webadm	2013-11-18 1:50
ブロッキングキャパシタ	webadm	2013-11-18 2:27

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