次は再び無損失の問題

無損失線路の電圧、電流をつぎの初期条件のもとに解け。



というもの。

以前の問題の結果から解は以下の特性方程式を満足する。



これを例によって距離で二重積分してベクトルポテンシャルを出現させると



これをUについて解くと



従って題意の初期条件を与えると



これでベクトルポテンシャルK1は解けたが、K0がまだ残っている。

どうすんだこっから（´Д｀；）

とりあえず代入して整理してみると



ということになる。

さていやなことに未定積分項K0が残ってしまった。

K0を決定するにはx≠0での境界条件が必要になる。

ここでどうして著者は未定項を含まない解を得ているのか謎である。境界条件がx=0に関してだけならどうしても完全には解けないはずである。
著者の解を見ると、予めe(x,0)=i(x,0)=e'(x,0)=i'(x,0)=0という条件で導いたLaplace変換の結果を用いている。つまり題意以外の初期条件があるのである。これは明らかに詐欺だろう。この時点でもうまじめに解く気が失せてしまった。

著者の隠していた初期条件を用いて著者と同じ結果が得られるかどうか確認するのは読者の課題としよう( ´∀`)

問題文でのみ与えられたx=0の初期条件を満足するならK0は任意に決めてよいことになる。幸いにしてK0=0としても、題意の初期条件を満足するので、それを解とすることにする。K0≠0でx=0の初期条件を満足する解は無数にあると思われる。それを全部調べるわけにはいかない。

es(t)=sin(t),L=C=1としてプロットすると



ということになる。

これはwave equationで画像検索すると似たようなグラフが出てくるが、時空境界線より先には波はまだ届いてない領域があるので、そこは平坦ではければならないが、そうなってないものがほとんどである。

どんぶらこっこどんぶらこっこと1/2振幅の２つの波が重なって進んでいく様子がよくわかる。

学生時代はコンピューターとか教室になかったから、黒板の上で数式から波を想像するしかなかったが、よほどの想像力豊かか数学の天才でないかぎり、このグラフを思い浮かべるのは無理だろう。やさしい時代になった。

P.S

最初に送電端(x=0)での電圧と電流は一次独立ではないと思ったが、良く考えると送電端に反射波が到達している場合には、電圧と電流は一次独立となる。これは送電端の終端条件にもよるが、すくなくとも反射波の電圧が加わった時点で終端回路に電流が流れ、それは送電端に加わる電圧によって流れる電流を打ち消したり増大させることになる。そうすると必ずしも送電端の電圧と電流が一次独立ではないとは言えない。

もっと良く考えれば、無限に長い線路の途中の任意の点を送電端としても問題としては成り立つ。x=0と定めた線路上からxが増大する方向は線路定数が均一だとすればよい。逆にx<0の空間に線路があってもよいし、実際の電源が印可されているのはずっと手前でもよいし、x=0より手前の線路の特性はどうなっていても構わないということになる。

問題は長い線路上のx=0とした点からx>0の均一な特性の線路上の電圧と電流である。

演算子法で導出した途中解を更に無理矢理完全に特と、第二項は積分項になることが想像に難くない。1/pの演算子関数があるので時間に関する積分になるのである。同時にexp(±x√LCq)演算子関数があるので、時間シフトが作用することも予想される。これらを総合すると、解は一次元のStokesの定理（特殊な場合のGreenの定理やGaussの定理を一般化したもの）に対応することが予想される。StokesというとWillam Thomsonの終生の友人で数学者だが、その業績を学ぶ機会は普通の人はまずない。でもHeavisideの演算子法を操ると意識するしないに関わらずその結果が見え隠れするのは実に興味深い。