次は有限長無損失線路で終端を短絡した問題

受電端を短絡した長さlの無損失線路にt=0で直流電圧Eを加えた。電圧、電流を求めよ。

というもの。

いつも通り無損失条件の電信方程式の基礎方程式をたてると



これの特性方程式から



距離で二重積分してUについて解くと



ということになる。

これに与えられた境界条件を適用してK0,K1を解くと




これを元の途中解に代入すると



ということになる。

これを指数関数表示にして実関数に変換すると



ということになる。

これも前問と同様にジグザグ図を描いてみると



これを元に0＜x＜lの点の電圧変化をプロットしてみると



ということになる。

E=C=L=l=1として時空間の電圧分布をプロットしてみると



ということになる。

電流に関しても同様に



ということになる。i(l,t)は受電端が短絡しているので、進行波が受電端に到達するとi(0,t)と同じ電流が流れ、同時に電圧反射率が-1のため電圧は0となるが、電流反射率は1のため同じ電流が流れ続けると共に、反射電流として送電端側へ向かっていくことになる。最初の電圧進行波が受電端に到達した瞬間に受電端側に進行波を打ち消すような逆極性の反射電圧源が接続されたのと同じと考えられる。そうすると反射電圧源によって線路が駆動されることによって送電端と同じ電流が線路に流し込まれ、それは進行波の電流と重なることになる。このことを式の上で明らかにできればいいのだが。それは読者の課題としよう( ´∀`)

電流の式は前問の電圧の式と相似だから、線路上のx点では新しい波が到達すると電流値が倍増することが予想される。前問の電圧の場合と異なるのは、送電端の電圧はEで一定だが、電流は制約が無いということである。従って、電流の反射波が送電端に達すると送電端の電流i(0,t)も増えることになる。そしてそれは進行波となってそのまま受電端側へ向かうことになる。

従って0＜x＜lでの電流は



ということになる。

グラフにプロットするのは読者の課題としよう( ´∀`)

受電端が短絡した無損失線路に直流電圧を印可した場合、定常状態で無限大の電流が送電端で流れるということと一致する。

現実の線路は無損失線路ではないので、送電端の電流は頭打ちになるが、電磁波の場合になると、真空中で向かい合う鏡の間で反射させた場合どうなるか想像してみると面白いかもしれない。おそらくNikola Teslaはこのことに気づいて、現在実用化されているレーザー光線のようなものと思われる殺人光線(death ray)を考案したのかもしれない。Tesla coilで小さな給電電圧から無尽蔵に大きな電圧（電界）を作りだすことができたのだから、同じ要領で無尽蔵に大きな電流（磁界）を作り出すことも可能であると考えたに違いない。もうこのあたりになるとFree energyとか似非科学やMad sienceとかいう範疇に足を踏み入れることになるので、良い子はそこで一歩踏みとどまらなければならない。