次は前問までの無損失線路の境界条件を無歪み線路に適用した問題。

長さlの無ひずみ線路の受電端を開放して、t=0で直流電圧Eを加えた場合の電圧、電流を求めよ。

というもの。

最初に一般的な送電端と受電端の電圧と電流を与えた場合の、解を求めておくことにしよう。

分布定数回路の基礎方程式をHeaviside演算子とベクトルで表すと



これの特性方程式から



従ってUは以下の作用素方程式を満足することになる



これを距離で二重積分してポテンシャルを出現させると



これをUについて解くと



ということになる。

ここで無歪み線路の条件



を適用すると



ということになる。



これに一般的な送電端と受電端の電圧と電流を境界条件として与えると



ということになる。これをUに代入すると



ということになる。

これに題意で与えられた受電端開放の境界条件



を代入すると



ということになる。

前問の無損失線路と違うのは、電圧および電流の進行波と反射波がそれぞれ終端からの距離に応じてαを係数とする指数関数的に減衰する点である。

電圧分布をジグザグ図で表すと



ということになる。

t=x/cで送信端からの進行波が点xに到達し、t=l/cで開放受電端に到達する。そのときの線路電圧はexp(-αl/c)*E。その直後に開放受電端に反射電圧源が現れたかのように受電端電流を相殺して0にする反射波が送電端方向へ向かうことになる。それは進行波と同じ極性で受電端では同じ電圧exp(-αl/c)*Eとなる。反射波も進行波と同様に線路によって減衰して点xにt=l/c+(l-x)/c=(2l-x)/cで到達する。その時の反射波の電圧はexp(-α(l-x)/c)*exp(-αl/c)*E=exp(-α(2l-x)/c)*Eということになる。重ね合わせの理で受電端電圧は進行波と反射波が重なって、2*exp(-αl/c)*E,点xではexp(-αx/c)*E+exp(-α(2l-x)/c)*Eということになる。さらに反射波が送電端まで達するのはt=2l/cでその時の反射波の電圧は、exp(-αl/c)*exp(-αl/c)*E=exp(-2αl/c)*Eということになる。次の瞬間に理想電圧源が接続された送電端で反射波が反射し、あたかも送電端に送電端電圧を相殺してEにするような反射電圧源が挿入されたような形になり、それは送電端に到達した反射波と極性を反転した電圧、-exp(-2αl/c)*Eが重ね合わさることになる。これが今度は受電端方向に向かっていき、点xにt=(2l+x)/cで到達する。この時の送電端からの反射波の電圧は、-exp(-αx/c)*exp(-2αl/c)*E=-exp(-α(2l+x)/c)*Eということになる。重ね合わせの理でその時の点xの電圧は、exp(-αx/c)*E+exp(-α(2l-x)/c)*E-exp(-α(2l+x)/c)*Eということになる。

無損失線路の時と違ってt=(2l+x)/cでの点xの電圧はt=x/cの時と同じにはならない。反射波が減衰するためである。

送電端からの最初の反射波が受電端に到達するのはt=3l/c,その時の電圧は-exp(-3αl/c)*Eということになる。この時点で受電端電圧は重ね合わせによって、2*exp(-αl/c)*E-exp(-3αl/c)*E=exp(-αl/c)*(2-exp(-2αl/c))*Eということになる。同様にここでも開放端で反射するため、送電端からの反射波と同じだけの電圧が受電端に加わったようになり、それが再び送信端へ向かう。それが点xに到達するのは、t=3l/c+(l-x)/c=(4l-x)/c,その時点での電圧は重ね合わせで、exp(-αx/c)*E+exp(-α(2l-x)/c)*E-exp(-α(2l+x)/c)*E-exp(-α(4l-x)/c)*Eということになる。

0＜x＜lでの電圧変化をプロットすると



ということになる。点xの電圧は反射が繰り返す度に定常状態へと近づいていくことが確認できる。

同じ要領で電流も求めることができるが、それは読者の課題としよう( ´∀`)

ここまで解答を書いているのは市販のテキストでも見あたらない。

面倒くさいというのと、ここからは読者の力試しということでお約束事になっているように思える。なんでも自分でやって納得するのが一番いいに決まっている。日本の有名な数学者でも学校で習ったことは僅かでほとんどは自分で考えたり本で独学したりしたという話しが多い。他の先輩や同世代の優秀な数学者から良い刺激を受けるというのもあるかもしれないが、それは一種の運だと思う。やはり自分で考えるのが全てを切り開く条件となる。

それでは次の問題に進もう。