次も有限長無歪み線路の問題。

長さlの無ひずみ線路の受電端を短絡にして、t=0で直流電圧Eを加えた場合の電圧、電流を求めよ。

というもの。

これは前問と同じ線路で受電端を短絡しただけの違いと思って間違いないだろう。

前問でそんなこともあろうかと、一般的な有限長無歪み線路の式を導いておいたので、その結果を利用することにしよう。



これに題意で与えられた受電端短絡の境界条件



を代入すると。



ということになる。

もういい加減慣れてきたのでジグザグ図は省略しよう。

t=0で送電端に電圧Eが印可されると、それは受電端方向へ進行波として進み、点xに達する時点では減衰してexp(-αx/c)*Eとなる。更にt=l/cで受電端に到達すると電圧はexp(-αl/c)*Eとなり、次の瞬間、それを打ち消して0とするような負の反射波が発生し送電端方向へ向かう。反射波の電圧は受電端で進行波と逆極性の-exp(-αl/x)*Eとなる。それが点xに到達する時には減衰して-exp(-α(l-x)/c)*exp(-αl/c)*E=-exo(-α(2l-x)/c)*Eとなる。この時点で点xの電圧は重ね合わせの理で、exp(-αx/c)*E-exp(-α(2l-x)/c)*Eということになる。更に反射波が送電端に到達する時には電圧は-exp(-2αl/c)*Eまでに減衰し、送電端で反射してexp(-2αl/c)*Eという反射電圧源が現れる。それも次第に減衰して点xに到達する時点で、-exp(-α(2l+x)/c)*Eとなり、この時点での点xの電圧は重ね合わせの理で、exp(-αx/c)*E-exp(-α(2l-x)/c)*E+exp(-α(2l+x)/c)*Eということになる。

無損失線路の時と違って減衰があるため振動はあるものの振幅は減衰していき定常状態へ向かう。

更に送信端からの反射波が受電端に到達すると、その電圧はexp(-3αl/c)*Eとなり、それが極性反転して反射電圧源として現れることになる。それが点xに到達すると、-exp(-α(l-x)/c)*exp(-3αl/c)*E=-exp(-α(4l-x)/c)*Eとなり、点xの電圧は重ね合わせの理で、exp(-αx/c)*E-exp(-α(2l-x)/c)*E+exp(-α(2l+x)/c)*E-exp(-α(4l-x)/c)*Eということになる。

これをプロットすると



ということになる。

受電端開放時に比べると点xの電圧は低く抑えられて定常状態に近づいていく。受電端の電圧が常に0なのでそこに引っ張られて線路全体が低い電圧となるのは当然だ。

電流に関しても同様に求めることができるが、こちらは無損失線路の様に際限なく電流が増加するということはあり得ない。受電端が短絡しているので、線路全体の抵抗と漏洩コンダクタンスで決まる定常電流に近づいていくことが予想される。

電流に関してプロットするのは読者の課題としよう( ´∀`)

P.S

著者の解とは異なるのは、著者の解は予めt=0で定常状態（e(x,0)=i(x,0)=0)を暗黙の初期条件としてLaplace変換しているからで、これは問題文には明記されていない。より一般的には初期条件はe(x,0)≠0, i(x,0)≠0であるので、演算子法のほうがより広範囲の解を扱うことができる。このため演算子法を使えばTesla Coilの解を得ることが可能であるがLaplace変換では積分変換が収束しないので扱うことができない。

２０世紀に入って演算子法の数学的研究が進むと、積分変換を用いずとも同じ結果が得られることや積分の収束を気にする必要が無いのでLaplace変換では扱えない問題も扱うことができるが証明され、ようやくHeavisideの鬱憤が晴らされたことになる。