次も無損失線路の問題だけど、今度は無限長のちょっと違ったタイプのもの

下図に示すように、特性インピーダンスZ1(s)とZ2(s)の２本の無損失線路の接続点がインピーダンスZ(s)を通じて設置されている。入力から進行波ei,iiが入射したとき、反射波er,ir,透過波et,itおよびZ(s)の電流izを求めよ。



というもの。

問題文からして複素周波数sを使用しているので、Laplace変換を手段として用いるように暗黙の意図が感じられるが、それは無視しよう。

以前の問題は有限長の線路の両端が終端されていたのだが、ここからは両端は終端されておらず（無限長）代わりに２つの線路の接合点がインピーダンスZで終端されているというもの。

それだけだと何も起こらないので、左側の線路から右側の線路の方向へ進行波電圧と電流がやってきて接合点に達すると、インピーダンスの整合状態の如何によっては反射波電圧と電流が左端方向へ逆戻りし、一部は右端方向へ透過波電圧や電流として進んでいくと考える。

以前の問題では終端は実数値抵抗のRであったが、今回はより一般化したインピーダンスZ(s)という設定だ。

題意では進行波が直流であるとも交流であるとも言っていないので、無損失線路なので距離もしくは時間の関数で表されると考えてよいだろう。すくなくとも接合点にぶつかるまではその関数の形を変えずに進んで来たと思えばよい。

(2013/11/11)
接合点から左右を見ると半無限長の無損失線路なので、特性インピーダンスが接続されているのと等価と見なすことができる。

そうなると接合点近傍は集中定数回路と見なすことができる。

以下が等価回路となる。



となると分布定数回路の問題というより集中定数回路の問題と言える。

上の回路で以下の関係が成り立つ



これをer,ir,et,it,izについて解くと



ということになる。

e_i,i_iが既知の場合ということだが、更に以下の関係を代入してer,etからiiを消去し、ir,it,izからeiを消去すると





ということになる。

おろ、著者の解とirだけ違っている。

ちなみに著者の立式は



これをEr,Ir,Et,It,Iz,Iiに関する連立方程式としてMaximaで解くと



著者の立式は未知数が５つに対して式が６つなので最後の一つは明らかに余分であるが、Ir,It,IzからEiを消去するためにそれを代入すると



ということでIrの向きが解路地の向きとは逆を正としている以外は同じ結果が得られたことから、著者のIrの解は計算ミスか原稿執筆時の転記ミスがあると思われる。注意しておこう。

どこをどう間違ったら著者のIrの解になるのか見つけるのは読者の課題としよう( ´∀`)

P.S

上の結果から反射係数を求めることができる。

電圧反射係数は



ということになる。

これは特性インピーダンスZ1の線路の終端にZとZ2が並列に接続された合成インピーダンスで終端されているのと等価である。

なんだ簡単じゃないか( ´∀`)

電流反射係数は電圧反射係数の負数であることを確かめるのは読者の課題としよう( ´∀`)

P.S

以前の問題で折れ曲がった時空間で解く方法を発見したが、良く考えると光の屈折と反射と良く似ている



昔小学校かどこかで教わったことがある気がする、それを憶えていて思い出したのかもしれない。