次も電気双極子の問題。

電気量+qの２個の点電荷が2lの距離に置かれているとき、両者を結ぶ線分の垂直二等分面上、中点Oからxの距離の点Pでの電界を求め、xによるその変化を図示せよ。



というもの。

これは教科書には書いてないモデル。教科書丸暗記避け問題かな。

例によって２点電荷を結ぶ直線に接する平面の電位ポテンシャルをプロットしてみると



plot3d(1/sqrt((y-1)^2+x^2)+1/sqrt((y+1)^2+x^2),[y,-2,2],x,-2,2],[z,0,5],[grid,100,100],[gnuplot_preamble,"setcontour both;set cntrparam levels incremental 0,0.1,5"]);


ということになる。

monument valleyみたいな景色になったけど、谷間に極大極小点があるように見える。

題意で求められているのは中点Oで２点電荷を結ぶ線分と直交する平面での電界である。

問題の平面は２点電荷を結ぶ直線に対して軸対称なので、中点Oを通り、２点電荷を結ぶ線分に直交する直線上の電界を導けばよいことになる。先の電位ポテンシャルの式にy=0を代入して勾配ベクトルを求めると



これも前問と同様に中点を境にして勾配ベクトルが反転する。どちらも下り坂であると共に、x＜0の領域ではxが大きくなるにつれ電位が高くなるので勾配ベクトルは電位の高い方から低い方の向きが正なのでそのままプロットすると逆向きになってしまう。

中点Oを通り２点電荷を結ぶ線分に直交する直線上の電位ポテンシャルをプロットしてみれば明らか

plot2d([2/sqrt(x^2+1)], [x,-5,5], [plot_format, gnuplot])$


したがってこれも問題文には書かれていないが、著者の解答を見る限り、電界の大きさをプロットすればよいように見える。

なので電界の絶対値を取ると



Maximaでプロットすると

plot2d([abs(x)/(1+x^2)^(3/2)], [x,-5,5],[plot_format,gnuplot])$


ということになる。

最初に示した電位ポテンシャルの等電位線図で中点で等電位線がクロスしているポイントがあったが、そこが唯一電界が0となるところであることがわかる。

題意には無いが著者は上のグラフで電界がピークに達する座標を求めている。これは連続関数の極大極小点条件だから、微分して



が成り立つには



ということになる。

P.S

Maxwellの著者には似たような等電位線が描かれた図が多数添付されているが、それを描くのはこの問題を解く程度の知識があれば可能だが、計算機が無かった時代にそれを短時間に行うのは相当の工夫が必要だったと思われる。今ではそうした工夫は必要ないが、今日の恵まれた環境に感謝するしかない。グラフを見ることでだいぶ理解の早道にもなる。