幾つか対策案を考えた、

(1) MySQL側を変更して旧認証方式を復活させる
これ自体は技術的には可能だと思われるが、既に最新では旧認証関連の実装はソースコードから取り除かれているし、簡単には復活できそうもない。
しかもAPIの仕様そのものが変更になっている可能性すらあるのだ。
それ以前の課題として最新のMySQLをソースからビルドできるのかという問題もある。
やってみたが難しそうすぎて却下。

(2) 現行サーバーで使用しているMySQLのバージョンを導入する
現在公式サポートされているMySQL 8に次いで古いMySQL 5.7.37でも旧認証方式は廃止されているので、現行サーバーで使用している動作実績のある、MySQL 5.5.52が導入できれば問題解決なはずだが。

やってみたが、MySQL 5.5.52が依存する他のパッケージが新しすぎて導入すらできないことが判明。

そもそもdebianベースのUbuntuにrpmパッケージを導入すること事態に無理があったかも。

(3) PHP側を新認証方式に対応させる
元々の問題はPHP4の頃のmysql_connection等の古いmysql関数を最新のMySQLに使うこと自体にあった。
最新のPHPではmysqliというまったく新しいAPIに切り替わったために、それをバックポートして使うか、その他の選択肢として、PDOというのをバックポートして使うという手もある。
しかしPHP4とそれ以降のPHPバージョンとは言語仕様そのものが違っているので、バックポートの難易度は高い。
自分で作ったほうが早いかもしれない。

また検討中。